특성곡선법

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해석학에서, 특성곡선법(特性曲線法, 영어: method of characteristics)은 1차 편미분 방정식을 연립 1차 상미분 방정식으로 환원하여 푸는 방법이다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 차원 매끄러운 다양체
  • 위의 두 매끄러운 벡터 다발
  • 위의 미분 연산자

주표상이 국소 좌표계에서

라고 하자. 이는 벡터 다발 사상

를 정의한다. (는 올별 대칭 대수 벡터 다발이다.) 이 벡터 다발 사상, 즉

특성점의 집합이라고 한다.

임의의 실수 값 매끄러운 함수

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 에 대하여 는 (적절한 조건 아래) 차원 초곡면을 이룬다. 만약

일 경우, 각 특성 초곡면(영어: characteristic hypersurface)이라고 한다. 만약 일 경우 이는 특성 곡선(영어: characteristic curve)이라고 하며, 일 경우 특성 곡면(영어: characteristic surface)이라고 한다.

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매끄러운 다양체 위의 벡터장

이 주어졌다고 하자. 이에 대한 미분 연산자

를 생각하자. 의 특성 초곡면을 정의하는 함수

을 만족시킨다.

예를 들어, 편의상 준 리만 계량 를 부여하였을 때, 임의의 곡선 에 대하여, 그 상이 특성 곡선을 이룰 조건은

인 것이다. 이는 1차 상미분 방정식이다.

매우 구체적으로, 이며 라고 하자. 그렇다면 특성 곡선들은

로 정의되는 직선족 이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]