런던 방정식 (영어 : London equations )은 초전도체 주위와 내부에 흐르는 전류와 전자기장과 관련된 방정식으로 1935년 프리츠 론돈 과 하인츠 론돈 형제가 제안하였다. 1933년 마이스너에 의해 발견된 초전도 현상 인 마이스너 효과 를 설명하는 이론으로 등장하였다. 초전도체를 이론적으로 설명한 첫 번째 이론이라는 점에서 그 의의가 있다.
런던 방정식 [ 편집 ]
런던 방정식 은 아래와 같은 두 개의 방정식으로 이루어져 있다.
∂
j
s
∂
t
=
n
s
e
2
m
E
.
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {E} .}
∇
×
j
s
=
−
n
s
e
2
m
B
.
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}
여기서
j
s
{\displaystyle \mathbf {j} _{s}}
는 초전도 전류,
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
와
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
는 초전도체 내부의 전기장과 자기장,
e
{\displaystyle e}
는 전자와 양성자의 전하,
m
{\displaystyle m}
은 전자 의 질량 ,
n
s
{\displaystyle n_{s}}
는 대전 입자의 밀도(number density)와 관계된 상수이다. (이 문서에서는 SI 단위계 를 쓴다.)
한편, 런던 방정식은 벡터 퍼텐셜
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
를 이용하여 위의 두 방정식을 하나로 합칠 수 있다. 벡터 퍼텐셜의 다이버전스를 0으로 하는 쿨롱 게이지를 사용하며, 따라서 게이지를 바꾸어주면 식이 성립하지 않는다.
j
s
=
−
n
s
e
2
m
A
.
{\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {A} .}
런던 투과 깊이 [ 편집 ]
두 번째 런던 방정식과 앙페르 회로 법칙 을 이용하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.
∇
×
B
=
μ
0
j
,
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\mu _{0}\mathbf {j} },}
(앙페르 회로 법칙 )
∇
2
B
=
1
λ
2
B
,
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {B} ,}
λ
=
m
c
2
4
π
n
s
e
2
{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {mc^{2}}{4\pi n_{s}e^{2}}}}}
.
여기서
λ
{\displaystyle \lambda }
는 외부 자기장이 지수함수 적으로 감소하는 길이 척도를 나타내는 값으로서 런던 투과 깊이 라고 한다. 초전도체의 런던 투과 깊이는 보통 50 ~ 500 nm 정도다.
런던 투과 깊이의 간단한 예로서, 경계면이 x방향에 평행한 초전도체가 있고 그 외부에 x방향의 균일한 자기장이 가해지고 있다면, 초전도체 내부의 자기장 크기는 다음의 방정식을 따른다.
B
x
(
z
)
=
B
0
e
−
z
/
λ
.
{\displaystyle B_{x}(z)=B_{0}e^{-z/\lambda }.}
이와 같이 런던 방정식을 풀면 자기장이 초전도체 내부에서 지수함수적으로 감소하는 결과를 얻는다. 이는 초전도체 내부의 자기장을 밀어내는 마이스너 효과 와 일맥상통하는 부분이다.
같이 보기 [ 편집 ]