푸아송 방정식

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푸아송 방정식(Poisson方程式, 영어: Poisson’s equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 라플라스 방정식을 일반화한 것이다. 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다.

정의[편집]

차원 다양체 위에서, 위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 푸아송 방정식은 미지 함수 에 대한 다음과 같은 2차 편미분 방정식이다.

여기서 라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는 이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

그린 함수[편집]

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다. 차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수 는 다음과 같다.

()

여기서

은 반지름이 1인 차원 초구의 (초)면적이고, 감마 함수다. 예를 들어

이다. 그린 함수 은 다음을 만족시킨다.

여기서 차원 디랙 델타 함수다.

응용[편집]

전자기학에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 전위를 계산할 때 쓰인다. 이 경우 는 주어진 전하 밀도이고, 전위로 해석한다.