푸아송 방정식

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푸아송 방정식(Poisson方程式, 영어: Poisson’s equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 라플라스 방정식을 일반화한 것이다. 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다.

정의[편집]

n차원 다양체 M 위에서, fM 위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 푸아송 방정식은 미지 함수 \phi에 대한 다음과 같은 2차 편미분 방정식이다.

\Delta\phi=f

여기서 \Delta라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는 M이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

그린 함수[편집]

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다. n차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수 G_n(\mathbf r)는 다음과 같다.

G_1(r)=-\frac{|r|}2
G_2(\mathbf r)=-\frac{\ln(\Vert\mathbf r\Vert)}{2\pi}
G_n(\mathbf r)=\frac1{V_n\Vert\mathbf r\rVert^{n-2}} (n>2)

여기서

V_n=2\pi^{n/2}/\Gamma(n/2)

은 반지름이 1인 n-1차원 초구의 (초)면적이고, \Gamma감마 함수다. 예를 들어

V_1=2
V_2=2\pi
V_3=4\pi
V_4=2\pi^2

이다. 그린 함수 G_n은 다음을 만족시킨다.

\Delta G_n(\mathbf r)=-\delta^{(n)}(\mathbf r)

여기서 \delta^{(n)}n차원 디랙 델타 함수다.

응용[편집]

전자기학에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 전위를 계산할 때 쓰인다. 이 경우 f는 주어진 전하 밀도이고, \phi전위로 해석한다.