디랙 델타 함수

델타 함수(δ distribution), 또는 디랙 델타 함수(영어: Dirac delta function)는 수학자 시메옹 드니 푸아송(1815)와 오귀스탱 루이 코시(1816)가 푸리에 적분 정리를 연구하면서 처음 고안하였다. 이후 이론물리학자 폴 디랙이 물리학에서 자주 사용하여 유명해졌다. δ(x)와 같이 표기하며, 크로네커 델타의 연속함수화로도 볼 수 있다. 이 함수는 정확히는 함수가 아니다. 신호 처리 분야에서는 임펄스 함수라고 부르기도 한다. 이 함수는 다음과 같은 값을 가진다.

$\delta (x)={\begin{cases}\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1$

측도로서의 정의

디랙 델타 함수는 측도로 생각할 수 있다. 측도함수 $\delta$를 다음과 같이 정의한다.

임의의 집합 $A\subseteq \mathbb {R}$에 대해, $0\in A$이면 $\delta (A)=1$, 아니면 $\delta (A)=0$.

이렇게 정의하면 이 측도는 모든 연속인 컴팩트 받침함수 $f$에 대해 다음을 만족한다.

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0)$

하지만, 이 함수는 라돈-니코딤 도함수가 존재하지 않기 때문에, $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0)$를 만족하는 $\delta (x)$는 존재하지 않는다. 즉, 이 적분 표현은 실제 디랙 델타 함수의 적분을 의미하는 것이 아니며, 위에서 정의한 측도 적분을 기호의 편의상 사용한 것으로 생각할 수 있다.

분포로서의 정의

디랙 델타 함수는 분포로 정의할 수 있다. 임의의 시험 함수 $\varphi$에 대해, 디랙 델타 함수 $\delta$는 다음의 값을 가진다.

$\left\langle \delta ,\varphi \right\rangle =\varphi (0)$

근사 표현

정규 분포의 극한을 이용한 디랙 델타 함수의 근사 표현
$\delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}$ as $a\rightarrow 0$.

델타 함수는 다음과 같이 다양한 근사 표현을 갖는다.

${\begin{aligned}\delta (t)&=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {1}{h}}{\mathit {\Pi }}\left({\frac {t}{h}}\right)\\&=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {1}{h{\sqrt {\pi }}}}\exp \left[-{\frac {t^{2}}{h^{2}}}\right]\\&=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {1}{h}}\operatorname {sinc} {\frac {t}{h}}\\&=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {1}{\pi h}}{\frac {1}{1+(t/h)^{2}}}.\end{aligned}}$

여기서 ${\mathit {\Pi }}$와 $\operatorname {sinc}$는 다음과 같이 정의된다.

${\begin{aligned}{\mathit {\Pi }}(t)&=\left\{{\begin{array}{ll}1,&-0.5\leq t\leq 0.5,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{array}}\right.\\\operatorname {sinc} t&={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}.\end{aligned}}$

참고로 $\exp[-t^{2}]/{\sqrt {\pi }}$와 $1/[\pi (1+t^{2})]$은 각각 정규 분포와 코시 로렌츠 분포의 확률 밀도 함수를 나타낸다.

성질

척도구성과 대칭성(Scaling and symmetry)

디랙 델타 함수는 0이 아닌 상수 $\alpha$에 대해 다음과 같은 성질을 만족한다.

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}},\\\delta (\alpha x)&={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}\end{aligned}}$

또한, 델타 함수는 $\delta (-x)=\delta (x)$ 관계를 만족하므로 짝분포이다.

평행 이동(Translation)

시간에 대해 평행 이동된 델타 함수와 다른 함수의 곱에 대한 적분은 다음과 같은 성질을 갖는다.

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,dt=f(T).$

델타 함수의 성질로부터 $\delta (\tau -t)=\delta (t-\tau )$이므로 위의 적분은 $f$와 $\delta$의 합성곱으로 생각할 수 도 있다. 즉,

$(f*\delta )(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau =f(t).$

이로써 어떤 함수와 델타 함수의 합성곱은 다시 원래 함수가 됨을 알 수 있다.

충격 응답(Impulse response)

주어진 선형 상미분 방정식이 자율적(autonomous)일 경우 모든 초기조건을 0으로 두고 입력으로 델타 함수를 인가했을 때 얻게 되는 해를 충격 응답이라 한다. 충격 응답은 선형 상미분 방정식의 해를 구하는데 중요한 역할을 한다. 다음과 같이 선형 연산자

$L=\sum _{k=0}^{n}c_{k}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}},\;(c_{k}\in \mathbb {R} )$

과 미지 함수 $y$, 그리고 입력 $f$로 표현된 자율적 선형 상미분 방정식을 고려하자.

$Ly=f,\quad y(0)=\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=0}=\cdots =\left.{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}\right|_{x=0}=0.$

이 방정식의 충격 응답을 $h$라 하면 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

$y(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(x-\tau )d\tau .$

같이 보기

• 그린 함수