홀함수와 짝함수

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수학에서 짝함수(even functions)와 홀함수(odd functions)는 특이한 대칭 관계를 만족하는 함수들이다. 해석학에서 자주 사용하며, 특히 멱급수푸리에 급수에서 중요하게 사용한다.

짝함수[편집]

짝함수는 우함수(偶函數)라고도 한다. f(x)\ 실수에서 정의된 실수값 함수라고 가정할 때, 모든 실수 x\ 에 대해서 다음 식이 성립한다면 f\ 짝함수이다.

f(-x) = f(x)\

그래프를 그려보면, 모든 짝함수는 y축을 기준으로 좌우대칭이다. 이 함수를 테일러 급수로 전개하면, 차수가 짝수인 항으로만 구성된다.

짝함수의 예로는 | x |, x2, x4, cos(x), and cosh(x)등이 있다.

짝함수는 일대일대응, 즉 전단사함수일 수 없다.

우함수는 fourier cosine series로 급수를 구할 수 있다.

f\left( x \right)=a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos \frac{n\pi }{L}x}

홀함수[편집]

홀함수는 기함수(奇函數)라고도 한다. 마찬가지로, f(x)\ 실수에서 정의된 실수값 함수라고 가정할 때, 모든 실수 x\ 에 대해서 다음 식이 성립한다면 f\ 홀함수이다.

f(-x) = - f(x)\

그래프로 그려보면, 모든 홀함수는 원점에 대해서 대칭이다. 즉, 그래프를 원점을 중심으로 180 회전하면 원래 그래프 그대로를 얻을 수 있다. 이 함수를 테일러 급수로 전개하면, 차수가 홀수인 항으로만 구성된다.

홀함수의 예로는 x, x3, sin(x), and sinh(x)등이 있다.

기함수는 fourier sine series로 급수를 구할 수 있다.

f\left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin \frac{n\pi }{L}x}

홀함수와 짝함수의 성질[편집]

기본 성질[편집]

  • 짝함수이며 동시에 홀함수인 함수는 f(x) = 0\ 인 상수함수밖에 없다.
  • 일반적으로, 홀함수와 짝함수를 합하면 짝함수도 아니고 홀함수도 아닌 함수가 된다. 예: x + x^2\
  • 두 짝함수를 합하면 짝함수가 되며, 임의의 상수를 곱해도 짝함수가 된다.
  • 두 홀함수를 합하면 홀함수가 되며, 임의의 상수를 곱해도 홀함수가 된다.
  • 두 홀함수를 곱하면 짝함수가 된다.
  • 두 짝함수를 곱하면 짝함수가 된다.
  • 홀함수와 짝함수를 곱하면 홀함수가 된다.
  • 짝함수를 짝함수로 나눈 몫은 짝함수이다.
  • 홀함수를 홀함수로 나눈 몫은 짝함수이다.
  • 짝함수를 홀함수로 나눈 몫은 홀함수이다. 반대의 경우도 마찬가지로 홀함수이다.
  • 짝함수의 미분은 홀함수이다.
  • 홀함수의 미분은 짝함수이다.

급수[편집]

  • 짝함수의 테일러 급수는 차수가 짝수인 항으로만 구성된다.
  • 홀함수의 테일러 급수는 차수가 홀수인 항으로만 구성된다.
  • 주기함수푸리에 급수코사인 항으로만 구성된다.
  • 홀주기함수의 푸리에 급수는 사인 항으로만 구성된다.
  • 모든 함수 f(x)\ 는 다음과 같이 짝함수와 기함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.
f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}


같이보기[편집]