이 문서는
오차 함수 의 도함수에 관한 것입니다. 정수값을 가지는 함수에 대해서는
바닥 함수 문서를 참고하십시오.
수학 에서, 가우스 함수 (-函數, 영어 : Gaussian function )는 다음과 같은 형태의 함수이다.
f
(
x
)
=
a
exp
(
−
(
x
−
b
)
2
2
c
2
)
{\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)}
a , b , c 는 실수 인 상수이고 c 는 0이 아니다. 이 함수는 카를 프리드리히 가우스 의 이름을 따서 명명되었다. 가우스 함수의 그래프는 좌우대칭의 종 모양의 곡선으로 +/-의 극한을 향하면서는 급격히 감소하는 특성을 가진다. 매개변수 a 는 곡선의 꼭대기 높이가 되며, b 는 꼭대기의 중심의 위치가 된다. c 는 표준 편차 로서 "종"의 너비를 결정한다.
가우스 함수는 기댓값 이 μ = b 분산 이 σ 2 = c 2 정규 분포 의 확률 밀도 함수 를 나타낼 때 주로 사용된다. 이 경우 가우스 함수는
g
(
x
)
=
1
σ
2
π
exp
(
−
1
2
(
x
−
μ
)
2
σ
2
)
{\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)}
[ 1]
가우스 함수는 통계학 에서의 정규 분포나 신호 처리 , 이미지 처리, 열 방정식 의 해 등 여러 경우에 사용된다.
이차 함수 와 지수 함수 를 합성한 함수
f
(
x
)
=
exp
(
α
x
2
+
β
x
+
γ
)
,
{\displaystyle f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ),}
α
=
−
1
/
2
c
2
{\displaystyle \alpha =-1/2c^{2}}
β
=
b
/
c
2
{\displaystyle \beta =b/c^{2}}
γ
=
ln
a
−
(
b
2
/
2
c
2
)
{\displaystyle \gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2})}
매개변수 c 는 함수의 반치전폭 (FWHM)을 결정하며
FWHM
=
2
2
ln
2
c
≈
2.35482
c
{\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c}
w 가 주어졌을 때 가우스 함수는
f
(
x
)
=
a
e
−
4
(
ln
2
)
(
x
−
b
)
2
/
w
2
{\displaystyle f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}}
FWTM
=
2
2
ln
10
c
≈
4.29193
c
{\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c}
한편 가우스 함수는 x = b ± c 해석 함수 이며, x → ∞
가우스 함수는 초등함수 이지만 그 부정적분은 초등함수로 나타내는 것이 불가능하며, 가우스 함수의 적분을 오차 함수 이상 적분 의 값은 아래와 같이 계산된다.
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
∫
−
∞
∞
a
e
−
(
x
−
b
)
2
/
(
2
c
2
)
d
x
=
a
c
⋅
2
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}}
기댓값 이 μ 이고 분산 이 σ 2
a
=
1
σ
2
π
{\textstyle a={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}
b = μ c = σ
a
=
1
c
2
π
{\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}
μ = b σ 2 = c 2 정규 분포 의 확률 밀도 함수 가 되며, 식은 아래와 같다.
g
(
x
)
=
1
σ
2
π
exp
(
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
)
.
{\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}
μ , σ 2
두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이고, 두 가우스 함수의 합성곱 도 여전히 가우스 함수이다. 이때 분산은 기존의 두 가우스 함수의 분산의 합과 같다. 반면 두 정규분포 가우스 함수의 곱은 일반적으로 정규분포 가우스 함수가 되지 않는다.
