이차 함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이차 함수 그래프의 예시

수학에서, 이차 함수(二次函數, 영어: quadratic function)는 최고 차수가 2인 다항 함수이다.

정의[편집]

이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 (또는 )이다.

단, 이어야 한다.

보다 일반적으로, 이변수 이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 (또는 )이다.

단, 가 성립하지 않아야 한다.

보다 일반적으로, 변수 이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 (또는 ).

단, 가 성립하지 않아야 한다.

성질[편집]

의 그래프

이차 함수의 그래프는 대칭축이 수직선인 포물선이다. 즉, 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같다.

반대로, 대칭축수직선인 모든 포물선은 어떤 이차 함수의 그래프이다.

방정식[편집]

이차 함수의 (곡선으로서의) 방정식은 다음과 같은 세 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

  • 일반형은 다음과 같으며, 이 꼴은 이차방정식의 y절편인 c와 볼록한 쪽을 나타내는 a의 부호 외에 얻을 정보가 없다. 따라서 이런 형태가 주어졌을 때 표준형, 인수분해형 중 하나로 바꿔서 풀 필요가 있다.
  • 표준형은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 x축으로 p만큼 이동하고, y축으로 q만큼 이동한 것을 알 수 있으며, a의 부호로 볼록한 쪽이 어느 쪽인지 알 수 있다. (이는 가 같은 두 이차 함수의 그래프는 서로 합동이며, 서로를 평행 이동하여 서로를 얻을 수 있음을 의미한다.)
  • 인수 분해형은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 두 근인 알파, 베타를 알 수 있다. (이는 모든 이차 함수는 서로 같거나 서로 다른 두 실수 또는 허수 영점을 가짐을 의미한다.)

일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.

볼록성[편집]

이차 함수 의 개형은 이차항 계수 에 따라 다음과 같이 나뉜다.

  • 라면, 엄격 볼록 함수이다. 즉, 그래프가 아래로 볼록하다.
  • 라면, 엄격 오목 함수이다. 즉, 그래프가 위로 볼록하다.

또한, 가 클수록 의 그래프의 모양은 뾰족해진다. 즉, 그래프의 폭이 좁아진다.

y절편[편집]

이차 함수 절편은 이다. 즉 의 그래프는 축과 점 에서 만난다.

대칭 · 단조성 · 최댓값과 최솟값[편집]

Cartesiancoord-axis-apex001.svg

이차 함수 의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.

이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.

꼭짓점은 이차 함수의 단조성이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 점이다. 의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.

  • 이라면, 에서 엄격 감소하며, 에서 엄격 증가한다. 따라서, 의 최솟값은 이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
  • 이라면, 에서 엄격 증가하며, 에서 엄격 감소한다. 따라서, 의 최댓값은 이며, 최솟값은 존재하지 않는다.

영점 · 판별식 · 비에트 정리[편집]

이차 함수 영점, 즉 그래프와 축의 교점의 좌표는 다음과 같으며, 이를 이차 함수의 근의 공식이라고 한다.

구체적으로, 이차 함수 판별식 의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.

  • 이라면, 는 서로 다른 두 실근 를 가진다. 이때 그래프는 축과 두 개의 교점을 가지며, 축은 그래프의 할선이다.
  • 이라면, 는 서로 겹치는 두 실근 를 가진다. 이를 이중근이라고 한다. 이때 그래프는 축과 유일한 교점을 가지며, 축은 그래프의 접선이다.
  • 이라면, 는 실근을 가지지 않지만, 서로 다른 두 허근 를 가진다. 이때 그래프는 축과 만나지 않는다.

이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리라고 한다.

기타 성질[편집]

이차함수 에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이 가 성립한다.

이차함수 에서 축을 기준으로 왼쪽과 오른쪽으로 나눌 때, 축에 접하는 쪽의 그래프를 보았을 때 축을 중심으로 그래프가 내려가면 이고 그래프가 올라가면 이 성립한다. 만약 축과 축이 일치한다면 이 된다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]