적분 변환

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

함수해석학에서, 적분 변환(積分變換, 영어: integral transform)은 어떤 (영어: kernel)과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다.

정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 곱공간 사영 함수

를 통해, 위의 매끄러운 벡터 다발

를 정의할 수 있다.

-(核函數, 영어: kernel)은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다.

(여기서 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, 는 무게 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)

일반화 단면[편집]

에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

여기서

  • 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다.
  • 위의, 무게 텐서 밀도의 실수 선다발이다.

이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다.

일반화 단면(一般化斷面, 영어: generalized section)의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간연속 쌍대 공간이다. 이를

로 표기하자.

적분 변환[편집]

-핵 에 대응되는 적분 변환은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다.

성질[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

슈와르츠 핵 정리(Schwartz核定理, 영어: Schwartz kernel theorem)에 따르면, 콤팩트 공간 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다.

여기서 유계 작용소들의 노름 공간을 뜻한다.

[편집]

유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다.

적분 변환 목록
변환 기호 t1 t2 u1 u2
푸리에 변환
하틀리 변환
멜린 변환
양측 라플라스 변환
라플라스 변환
바이어슈트라스 변환
항켈 변환
아벨 변환
힐베르트 변환
푸아송 핵
동일 변환

역사[편집]

슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230
  • Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. 

관련 항목[편집]

외부 링크[편집]