멜린 변환

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해석학에서, 멜린 변환(Mellin變換, 영어: Mellin transform)은 양의 실수선 위의 함수에 대하여 정의되는 적분 변환의 일종이다.[1] 푸리에 변환지수 함수를 합성한 것이다. 이에 따라, 푸리에 변환이나 라플라스 변환이 평행 이동에 대하여 호환되는 것에 반해, 멜린 변환은 확대 변환에 대하여 호환된다. 원래 함수의 0 또는 무한대에서의 점근적 급수의 계수는 멜린 변환의 극점의 계수로 주어진다.

정의[편집]

라고 하자. 양의 실수선 () 위에 정의된 실수 값 함수

가 주어졌다고 하자. (은 1차 르베그 공간, 즉 절댓값 적분 가능 함수 공간이다.) 정의역은 위 적분이 수렴하는 복소수 들의 집합이다.

그렇다면, 멜린 변환은 (만약 존재한다면) 다음과 같은 적분 변환이다.

확장된 멜린 변환[편집]

만약 위와 같은 멜린 변환이 수렴하지 않더라도, 일부 경우 멜린 변환을 다음과 같이 정의할 수 있다.[1]:§1

우선, 함수 가 0 근처에서 점근적 급수

를 갖는다고 하자. (이 급수는 점근적 급수이다. 즉, 수렴할 필요는 없다.) 여기서

를 만족시키는 복소수열이며,

자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다.

그렇다면, 임의의 에 대하여 "부분 멜린 변환"

해석적 연속을 가하면 복소평면 위의 유리형 함수이며, 그 극점들은 에 위치하며, 극점 근처에서의 로랑 급수는 다음과 같다.

마찬가지로, 가 무한대 근처에서 점근적 급수

를 갖는다고 하자. 여기서

를 만족시키는 복소수열이며,

자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다. 그렇다면, 임의의 에 대하여 "부분 멜린 변환"

해석적 연속을 가하면 복소평면 위의 유리형 함수이며, 그 극점들은 에 위치하며, 극점 근처에서의 로랑 급수는 다음과 같다.

이에 따라, 임의의 에 대하여 (일반화) 멜린 변환을 위와 같은 두 "부분 멜린 변환"의 해석적 연속의 합인 유리형 함수로 정의할 수 있으며, 이는 의 선택에 의존하지 않는다.

이러한 꼴의 함수에 대하여, 기본대는

이다. 특히 일 수 있는데, 이 경우 고전적 멜린 변환은 정의되지 않는다.

성질[편집]

정의역[편집]

임의의 에 대하여, 의 정의역은 다음과 같은 꼴이다.

즉, 경계에서의 영집합을 제외하면 나머지는 꼴의, 복소평면의 띠이다. 이를 기본대(基本帶, 영어: fundamental strip)라고 한다.

특히, 임의의 에 대하여, 의 기본대는 항상 를 포함한다.

임의의 두 실수 에 대하여, 만약 함수

와 같은 점근적 성질을 갖는다면, 열린구간 의 기본대에 속한다.

멜린 역변환[편집]

멜린 변환은 다음과 같은 역을 갖는다.

여기서 는 임의의 상수이며, 는 주분지(영어: principal branch)를 사용한다. 특히, 만약 일 경우, 항상 로 잡을 수 있다.

연산과의 호환[편집]

멜린 변환은 다음 성질들을 만족시킨다.[1]:§1, (2)

유니터리성[편집]

복소수 힐베르트 공간 에서, 다음을 정의하자.

그렇다면,

는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유니터리 변환(=등거리 복소수 선형 변환)을 정의한다.

다른 변환과의 관계[편집]

적절한 조건 아래, 멜린 변환은 다음과 같이 푸리에 변환()으로 표현된다.

마찬가지로, 양쪽 라플라스 변환 와의 관계는 다음과 같다.

[편집]

수론에서 자주 등장하는 함수

를 생각하자. (아이버슨 괄호, 즉 괄호 속의 명제가 참이면 1, 거짓이면 0이다.) 그 멜린 변환은 다음과 같다.

지수 함수 → 감마 함수[편집]

함수

의 멜린 변환은 다음과 같이 감마 함수이다.

위 적분이 수렴하는 의 값, 즉 멜린 변환의 정의역은 다음과 같다.

특히, 의 멜린 변환의 기본띠는 이다.

그 역변환인 적분

카앵-멜린 적분(영어: Cahen–Mellin integral)이라고 한다.

세타 함수 → 리만 제타 함수[편집]

야코비 세타 함수 의 멜린 변환은 리만 제타 함수이다.

베르누이 수[편집]

베르누이 수생성 함수

의 멜린 변환은 다음과 같다.

여기서 감마 함수이며 리만 제타 함수이다. 이에 따라, 감마 함수의 극점을 통해 리만 제타 함수의 음의 정수에서의 값이

임을 알 수 있다.

역사[편집]

핀란드의 수학자 로베르트 얄마르 멜린(스웨덴어: Robert Hjalmar Mellin, 1854~1933)이 도입하였다.[2][3] 이후 외젠 카앵(프랑스어: Eugène Cahen, 1865~1941)이 그 이론을 개량하였다.

응용[편집]

물리학[편집]

양자장론에서, 분배 함수의 멜린 변환은 1고리 진공 진폭(영어: one-loop vacuum amplitude)이라고 한다. 즉, 해밀토니언 연산자 에 대하여,

를 생각하자. 이는 일 때 그린 함수=전파 인자이다. 이는 다음과 같이 분배 함수

의 멜린 변환으로 얻어진다.

여기서 는 (분배 함수의 관점에서) 온도의 역수이다.

이 사실은 파인먼 도형에 대응된 적분을 계산하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 이 경우, 1고리 진공 진폭 을 계산하려면 이를 위와 같은 꼴의 멜린 변환으로 나타내는데, 이 경우 등장하는 보조 변수 슈윙거 매개 변수(영어: Schwinger parameter)라고 한다. 이는 양자장론을 일종의 시그마 모형으로 간주하였을 때, 입자의 세계선의 시간(의 비크 회전 영어: Wick rotation)에 해당한다.

연산자의 제타 함수[편집]

보다 일반적으로, 콤팩트 매끄러운 다양체 위의 복소수 매끄러운 벡터 다발 위의 라플라스형 연산자 열핵

를 생각하자. 이 경우, 임의의 함수 에 대하여, 힐베르트 공간

에서의 대각합

을 정의할 수 있다. 이제 이것의 에 대한 멜린 변환을 취하자.

(편의상 감마 함수 인자 를 삽입하였다.) 이 경우, 는 (적절한 해석적 연속을 가하면) 라플라스형 연산자 제타 함수(영어: zeta function)라고 한다. 제타 함수의 특이점들은 라플라스형 연산자에 대한 다양한 정보들을 담고 있다.[4]:§2.2

조합론[편집]

멜린 변환은 또한 조합론에서도 자주 등장한다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. Zagier, Don (2006). 〈The Mellin transform and related analytic techniques〉 (PDF). 《Quantum field theory I: basics in mathematics and physics. A bridge between mathematicians and physicists》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-34762-0. doi:10.1007/978-3-540-34764-4. 
  2. Mellin, Hjalmar (1896). “Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und hypergeometrischen Functionen”. 《Acta Societatis Scientiarum Fennicae》 (독일어) 21 (1): 1–115. JFM 28.0382.03. 
  3. Mellin, Hjalmar (1902). “Über den Zusammenhang zwischen den Linearen Differential- und Differenzengleichungen”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 25: 139–164. JFM 32.0348.02. doi:10.1007/BF02419024. 
  4. Vassilevich, D. V. (2003). “Heat kernel expansion: user’s manual”. 《Physics Reports》 (영어) 388: 279–360. Bibcode:2003PhR...388..279V. Zbl 1042.81093. arXiv:hep-th/0306138. doi:10.1016/j.physrep.2003.09.002. 
  5. Flajolet, Philippe; Gourdon, Xavier; Dumas, Philippe (1995년 6월 26일). “Mellin transforms and asymptotics: harmonic sums” (PDF). 《Theoretical Computer Science》 (영어) 144 (1–2): 3–58. doi:10.1016/0304-3975(95)00002-E. 

외부 링크[편집]