르베그 공간

함수해석학에서, 르베그 공간(Lebesgue空間, 영어: Lebesgue space) 또는 L^p 공간(영어: L^p-space)은 절댓값의 $p$승이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

정의

측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 음이 아닌 확장된 실수 $0\leq p\leq \infty$가 주어졌다고 하고, $\mathbb {K} \in \{\mathbb {C} ,\mathbb {R} \}$가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간 $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-위상 벡터 공간이며, 그 정의는 $p$의 값에 따라 다음과 같다.

L^p (0 < p ≤ ∞)

$0<p\leq \infty$ 및 가측 함수 $f\colon X\to \mathbb {K}$에 대하여 다음 기호를 정의하자.

$\|\cdot \|_{p}\colon M(X,\mathbb {K} )\to [0,\infty ]$

$\|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\int _{X}|f(x)|^{p}}}&p<\infty \\\inf \left\{C\in \mathbb {R} |\mu (\{x\in X||f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty \end{cases}}$

그렇다면, ${\mathcal {L}}^{p}$를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

${\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )=\{f\in M(X,K)\colon \|f\|_{p}<\infty \}$

여기서 $M(X,Y)$는 두 측도 공간 $X,Y$ 사이의 가측 함수의 집합이며, $\mathbb {K}$의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

${\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )$는 $K$에 대한 벡터 공간을 이루며, $\|\cdot \|_{p}$의 핵

$\ker \|\cdot \|_{p}=\{f\in M(X,K)|\|f\|_{p}=0\}\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X,K)$

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간 $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$라 한다.^{:43, §II.2:31, §1.43; 35, §1.47}

$\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}{\ker \|\cdot \|_{p}}}$

이 위에는 "열린 공"들

$\left\{\operatorname {ball} (f,r)\colon r\in \mathbb {R} ^{+},\;f\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\right\}$

$\operatorname {ball} (f,r)=\left\{g\in L^{p}\colon \|f-g\|_{p}<r\right\}$

을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, $p<1$이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 $p\geq 1$이라면, $\|\cdot \|_{p}$는 $\operatorname {L} ^{p}(K)$ 위의 완비 노름을 이루며, $\|\cdot \|_{p}$는 $K$-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 $p<1$이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L⁰

$p=0$인 경우, $\operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )$은 모든 가측 함수 $X\to \mathbb {K}$의 (동치류의) 공간이다. 즉, $K$-벡터 공간 $M(X,\mathbb {K} )$에

$N=\left\{f\in M(X,\mathbb {K} )\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\right\}$

를 정의하였을 때

$\operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )={\frac {M(X,\mathbb {K} )}{N}}$

이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족

$\{d_{S}\}_{S\in \Sigma ,\;\mu (S)<\infty }$

$d_{S}(f,g)=\int _{S}\min\{|f-g|,1\}\,\mathrm {d} \mu$

을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

ℓ^p

만약 $X$가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간 $\mathbb {N}$일 경우,

${\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\mathrm {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\ell ^{p}(\mathbb {K} )$

로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 ${\mathcal {L}}^{p}$와 $\mathrm {L} ^{p}$를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 $f\in M(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$값을 갖는 수열이 되고, 노름 $\|\cdot \|_{p}$은 다음과 같다.

$\|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|f_{i}|^{p}}}$

성질

민코프스키 부등식

만약 $1\leq p\leq \infty$일 경우, $\|\cdot \|_{p}$는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))$

만약 $0<p<1$일 경우, $\|\cdot \|_{p}$는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.^:816

$\|f+g\|_{p}\leq 2^{(1-p)/p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))$

증명:

임의의 두 음이 아닌 실수 $s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}$에 대하여

$(s+t)^{p}\leq s^{p}+t^{p}\leq 2^{1-p}(s+t)^{p}$

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

$(\|f+g\|_{p})^{p}=\int _{X}|f+g|^{p}\leq \int _{X}(|f|+|g|)^{p}\leq \int _{X}(|f|^{p}+|g|^{p})=(\|f\|_{p})^{p}+(\|g\|_{p})^{p}\leq 2^{1-p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})^{p}$

이다.

바나흐·힐베르트 공간일 조건

임의의 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 $p\in [0,\infty ]$ 및 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약 $1\leq p\leq \infty$라면 $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이다.
• 만약 $1<p<\infty$라면 $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-반사 바나흐 공간이다. (그러나 $p=1$ 또는 $p=\infty$인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
• 만약 $p=2$일 경우 $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간이다. (그러나 $X$의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
• 만약 $\mathbb {K} =\mathbb {C}$이며 $p=\infty$일 경우 $\operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )$는 가환 C* 대수이다. 만약 $X$가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

연속 쌍대 공간

임의의 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 및 $1<p<\infty$에 대하여, $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

$(\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))'=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\qquad (1/p+1/q=1)$

구체적으로, 이 동형 사상은 $f\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$ 및 $[g]\in \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )$에 대하여

$\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\times \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\to \mathbb {K}$

$([f],[g])\mapsto \int _{X}f(x)g(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$

이다. 특히, $p=2$일 경우 $\operatorname {L} ^{2}$는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나 $\operatorname {L} ^{\infty }$의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 $\operatorname {L} ^{1}$보다 훨씬 크다. 반면, 만약 $X$가 시그마 유한 측도를 갖추었다면, $(\operatorname {L} ^{1})'=\operatorname {L} ^{\infty }$이다.

포함 관계

임의의 두 확장된 실수

$0<p<q\leq \infty$

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

㈎ $\sup\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq \infty \}<\infty$

㈏ $\inf\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq 0\}>0$

그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.

㈎ $\iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )$

㈏ $\iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\supseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )$

㈎와 ㈏가 동시에 성립 $\iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )$

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.

측도 공간	㈎	㈏
유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위의 르베그 측도 ($n>0$)	❌	❌
유한 집합 위의 셈측도	⭕	⭕
무한 집합 위의 셈측도	❌	⭕
유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합	⭕	❌

예

유한 집합

$X$가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 $0\leq p\leq \infty$에 대하여

$\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{X}$

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 $\mathbb {K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 $X$의 집합의 크기이다.

$p$의 값에 따라, $\mathbb {K} ^{X}$ 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

$\|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{x\in X}|f(x)|^{p}}}\qquad (p<0<\infty )$

$\|f\|_{\infty }=\max _{x\in X}|f(x)|$

만약 $p=2$일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, $|X|\geq 2$이자 $1\leq p\neq 2$일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

수열 공간

$X=\mathbb {N}$일 경우, $p$의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 $\ell ^{p}(\mathbb {K} )$ 공간의 성질은 다음과 같다.

$p$의 범위	$\ell ^{p}(\mathbb {K} )$의 성질
$0\leq p<1$	$\mathbb {K}$-위상 벡터 공간 ($\mathbb {K}$-국소 볼록 공간이 아님)
$1\leq p<2$	$\mathbb {K}$-바나흐 공간
$p=2$	분해 가능 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간
$2<p\leq \infty$	$\mathbb {K}$-바나흐 공간

디랙 측도

이 부분의 본문은 디랙 델타 함수입니다.

집합 $X$ 속의 원소 $x_{0}\in X$가 주어졌으며,

$\mu (S)={\begin{cases}1&S\ni x_{0}\\0&S\not \ni x_{0}\end{cases}}$

라고 하자. 그렇다면, $0\leq p\leq \infty$에 대하여, $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$는 다음과 같다.

$\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K}$

$\|f\|_{p}=|f(x_{0})|\qquad (0<p\leq \infty )$

역사

"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

$\ell ^{2}$ 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).^{:V.83, Note historique} 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.^{:V.84, Note historique} 힐베르트의 이론을 $p\neq 2$로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.^{:§3, 457–459:V.86, Note historique} 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 $\operatorname {L} ^{p}$를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 ${\operatorname {L} ^{p}}'=\operatorname {L} ^{q}$ ($1/p+1/q=1$)을 증명하였다.

같이 보기

• 소볼레프 공간

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “L^p-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “L^2-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lebesgue space”. 《nLab》 (영어). 
• Tao, Terrence (2009년 1월 9일). “L^p spaces”. 《What’s New》 (영어).