함수해석학에서 르베그 공간(Lebesgue空間, 영어: Lebesgue space) 또는 Lp 공간(영어: Lp-space)은 절댓값의
제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.
측도 공간
및 음이 아닌 확장된 실수
가 주어졌다고 하고,
가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간
는
-위상 벡터 공간이며, 그 정의는
의 값에 따라 다음과 같다.
및 가측 함수
에 대하여 다음 기호를 정의하자.
![{\displaystyle \|\cdot \|_{p}\colon {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0cccbddf0edd1b80f44e14aabaa06a050b2800)
![{\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\int _{X}|f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu }}&p<\infty \\\inf \left\{C\in \mathbb {R} \colon \mu (\{x\in X\colon |f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde716102569842660bfdfb515bc01e8ef9b93a5)
그렇다면,
를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

여기서
는 두 측도 공간
사이의 가측 함수의 집합이며,
의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.
는
에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간
라고 한다.[1]:43, §II.2[2]:31, §1.43; 35, §1.47

이 위에는 "열린 공"들


을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론,
이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)
만약
이라면,
는
위의 완비 노름을 이루며,
는
-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약
이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.
인 경우,
은 모든 가측 함수
의 (동치류의) 공간이다. 즉,
-벡터 공간
에

를 정의하였을 때

이다.
이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족


을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.
만약
가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간
일 경우,

로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우
와
를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수
는
값을 갖는 수열이 되고, 노름
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|f_{i}|^{p}}}&0<p<\infty \\\sup _{i\in \mathbb {N} }|f_{i}|&p=\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae296fa2b37202c361eca7dace5e0b98ef41308)
만약
일 경우,
는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

만약
일 경우,
는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.[3]:816

증명:
임의의 두 음이 아닌 실수
에 대하여

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

이다.
임의의 측도 공간
및
및
에 대하여, 다음이 성립한다.
- (리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약
라면
는
-바나흐 공간이다.
- 만약
라면
는
-반사 바나흐 공간이다. (그러나
또는
인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
- 만약
일 경우
는
-힐베르트 공간이다. (그러나
의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
- 만약
이며
일 경우
는 가환 C* 대수이다. 만약
가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.
임의의 측도 공간
및
및
에 대하여,
의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

구체적으로, 이 동형 사상은

![{\displaystyle ([f],[g])\mapsto \int _{X}f(x)g(x)\mathrm {d} \mu (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb7bbbb96547d524b39330ca4b7dc38d8d12ae8)
이다. 특히,
일 경우
는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.
그러나
의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로
보다 훨씬 크다. 반면, 만약
가 시그마 유한 측도를 갖추었다면,
이다.
임의의 두 확장된 실수

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간
위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
- ㈎

- ㈏

그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.[4]
- ㈎

- ㈏

- ㈎와 ㈏가 동시에 성립

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.
가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의
에 대하여

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은
위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은
의 크기이다.
의 값에 따라,
위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.
![{\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{x\in X}|f(x)|^{p}}}\qquad (0<p<\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3276fb02c516ae1078a7386475ccacac6797ca4)

만약
일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며,
이자
일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.
일 경우,
의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간
공간의 성질은 다음과 같다.
의 범위 |
의 성질
|
 |
-위상 벡터 공간 ( -국소 볼록 공간이 아님)
|
 |
-바나흐 공간
|
 |
분해 가능 -힐베르트 공간
|
 |
-바나흐 공간
|
집합
속의 원소
가 주어졌으며,

라고 하자. 그렇다면,
에 대하여,
는 다음과 같다.


"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.
공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).[5]:V.83, Note historique 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.[5]:V.84, Note historique
힐베르트의 이론을
로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.[6]:§3, 457–459[5]:V.86, Note historique 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호
를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성
(
)을 증명하였다.