베르누이 수

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수론에서, 베르누이 수(영어: Bernoulli numbers)는 유리수 수열의 하나다.

역사[편집]

세키 다카카즈의 《괄요산법》

세키 다카카즈(일본어: 関 孝和 (せき たかかず), 1642 ~ 1708)가 지은, 1712년 사후에 출판된 《괄요산법》(일본어: 括要算法 (かつよう さんぽう))에 등장한다. 유럽에서는 야코프 베르누이가 지은, 1713년 사후에 출판된 《추측술》(라틴어: Ars Conjectandi)에 등장한다.

에이다 러브레이스는 1842년에 찰스 배비지해석기관을 사용해 베르누이 수를 계산하는 알고리즘을 기술하였다. 이는 세계 최초의 컴퓨터 프로그램으로 여겨진다.

제곱수의 합[편집]

베르누이 수는 1에서 n까지의 수의 m 제곱 수의 합 공식과 관련이 있다. 자연수 mn에 대해 다음과 같은 함수 S를 정의하면

S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m

위 함수는 항상 자연수 nm다항식으로 표현할 수 있다.

S_m(n) = {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose{k}} B_k\; n^{m+1-k}

위 식을 베르누이 공식이라고 부른다. (위 식에서 \tbinom{m+1}{k}이항계수이다.) 예를 들어 위 식에서 m에 1을 대입하면 1부터 n까지의 자연수의 합인 삼각수 공식을 얻을 수 있다.

 1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2}\left(B_0 n^2+2B_1 n^1\right) = \frac{1}{2}\left(n^2+n\right)

또한 m에 2를 대입하면 제곱수의 합 공식을 얻을 수 있다.

 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3}\left(B_0 n^3+3B_1 n^2+3B_2 n^1 \right) = \frac{1}{3}\left(n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n\right)

어떤 저자들은 B1 = −1/2 로 정의하고, 대신 다음과 같은 공식을 사용한다.

S_m(n) = {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m (-1)^k {m+1\choose{k}} B_k\; n^{m+1-k}

정의[편집]

베르누이 수 B_n은 다음과 같은 생성함수로 정의할 수 있다.

\frac t{e^t-1}=\sum_n\frac{B_nt^n}{n!}

보다 일반적으로, 다음이 성립한다.

\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_n\frac{t^n}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{n-k}x^k

성질[편집]

B_1=-1/2을 제외하고, 홀수차 베르누이 수 B_3,B_5,\dots는 모두 0이다. B_2,B_6,B_{10},\dots는 양수고, B_4,B_8,B_{12},\dots는 음수다.

베르누이 수는 탄젠트 및 코탄젠트의 매클로린 급수에 등장한다.

\tan x=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
\cot x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
-x\zeta(1-x)의 그래프

또한, 베르누이 수는 리만 제타 함수의 특수한 값이다.

B_n=(-1)^{n+1}n\zeta(1-n)

[편집]

낮은 차수의 베르누이 수는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A367), (OEIS의 수열 A2445)

n Bn
0 1
1 −1/2
2 1/6
4 −1/30
6 1/42
8 −1/30
10 5/66
12 −691/2730
14 7/6
16 −3617/510
18 43867/798

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]