푸리에 변환

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푸리에 변환(Fourier transform, FT) 은 시간에 대한 함수 (혹은 신호) 를 함수를 구성하고 있는 주파수 성분으로 분해하는 작업이다. 음악에서, 악보에 코드를나타낼때, 주파수 혹은 음높이로 표현되는 것과 유사하다. 시간의 함수가 푸리에 변환이 되면, 주파수의 복소함수가 되고, 이것의 절대값은 원래 함수를 구성하는 주파수 성분의 양을, 편각은 기본 사인 곡선과의 위상차 (phase offset) 을 나타낸다. 푸리에 변환은 원래 함수의 주파수 영역 표현 (frequency domain representation) 이라고도 한다. 푸리에 변환이라는 용어는 주파수 영역의 함수뿐만 아니라 주파수 영역의 함수와 시간 영역의 함수를 잇는 수학적 연산 (혹은 공식) 모두를 의미한다. 푸리에 변화는 시간의 함수에 제한되어있지 않지만, 용어의 통일을 위해 원래 함수의 영역을 보통 시간 영역의 함수로써 취급한다. 다양한 함수들의 실질적 사용에 있어서, 이것의 역함수가 정의 될 수 있는데, 주파수 영역 함수의 푸리에 역변환 또는 푸리에 합성이라 한다. 이는 원래 함수를 복원하기 위해서 모든 구성주파수 성분을 조합하는 변환이다.

시간이나 주파수 영역에서서 수행되는 선형 연산들 (linear operation) 은 서로 영역에서 상응하는 연산들이 있는데, 그 것들이 연산을 더 쉽게 만들어 주기도 한다. 시간의 영역에서의 미분연산은 주파수 영역에서 곱셉과 같아서, 미분방정식은 주파수 영역에서 더 쉽게 분석되어 지기도 한다. 또한, 시간 영역에서의 합성곱 (convolution)은 주파수 영역에서 평범한 곱셉과 같다. 이것은 확실하게 신호에 필터를 적용하는 것과 같은 모든 선형 시불변 시스템 (linear time-invariant system) 은 주파수 영역에서 비교적 쉽게 표현될 수 있다는 것을 뜻 한다. 원하는 연산이 끝난 후에, 결과에 대한 변환으로 시간 영역으로의 돌아갈 수 있다. 조화해석은 서로 다른 영역에서의 “더욱 단순한” 함수와 연산에 대한 연구를 포함하여 주파수와 시간 영역의 관계를 연구하는 체계적인 학문이며, 거의 모든 현대 수학의 분야와 깊은 연관성을 가지고 있다.

시간 영역에서는 좁은 지역에서 표현되는 함수가 푸리에 변환된 주파수 영역 함수에서는 모든 영역에 펼쳐져 있게 되고, 그 반대 역시 마찬가지 이다. 이것은 불확정성 원리 (uncertainty principle) 로 알려져있는 현상이다. 이 원리의 대표적인 예시는 가우스 함수인데, 이는 확률 이론통계학에서 뿐만 아니라 정규 분포를 나타내는 물리 현상 (예: 확산) 에 대한 연구에서도 매우 중요한 함수이다. 가우스 함수의 푸리에 변환의 결과는 또 다른 가우시안 함수이다. 조제프 푸리에 는 자신의 열전도 연구에서 가우스 함수로 나타나는 열 방정식의 해를 유도하는 과정에서 이 변환을 도입하였다.

푸리에 변환은 적분변환으로, 더 복잡한 적분 이론을 요구하는 많은 응용분야에서는 적합하지 않더라도, 일반적으로 리만 이상적분 (improper Riemann integral)으로 정의 될 수 있다. 예를 들어, 상대적으로 간단한 많은 응용분야에서 하나의 함수로 취급될수 있는 디랙 델타 함수를 사용하지만, 그것의 정당화를 위해서는 더 복잡한 수학적 관점을 필요로 한다. 푸리에 변환은 유클리드 공간의 변수들로 구성된 함수로 일반화 할 수도 있다. 즉, 3차원 공간의 함수를 3차원 공간의 운동량에 대한 함수로 바꿀 수도 있고, 혹은 공간과 시간의 함수를 4차원 운동량에 대한 함수로 변환할 수 있다. 이것은 파동에 대한 연구나 양자역학에서뿐 아니라 공간이나 운동량 또는 둘 모두를 함수로 표현할 때 파동 공식 표현이 중요한 분야에서 공간에서의 푸리에 변환이 매우 자연스럽게 사용되도록 하였다. 일반적으로 푸리에 공식이 적용가능한 함수는 복소수이며, 벡터 값을 가질 수 있다. 집합군을 이용한 함수에서는 더 많은 형태가 가능하다. 또는 n (덧셈에 닫혀있는 집합군으로 보여지는) 의 원래의 푸리에 변환 외에, 알려져있 듯이 이산시간 푸리에 변환 (DTFT, 집합 ) 과 이산 푸리에 변환 (DFT, 집합 mod N), 푸리에 급수, 원형 푸리에 변환 (집합 S1, 단위원 = 끝점이 같은 유한 폐구간) 들 포함한다. 마지막 것는 보통 주기함수에서 다루어진다. 고속 푸리에 변환 (Fast Fourier transform) 은 DFT 를 계산하기 위한 하나의 알고리즘이다.


정의[편집]

함수 복소수 범위에서 정의되어 있고 르베그 적분이 가능할 때, 이 함수의 푸리에 변환 는 다음과 같이 정의된다.

(는 모든 실수 범위)

여기서 일반적으로 독립변수 는 시간을 나타내고, 변환변수 는 주파수를 나타낸다.

대신 , 와 같은 표기를 사용하기도 한다.

푸리에 역변환은 다음과 같다.

푸리에 급수[편집]

푸리에 적분(Fourier Integral)[편집]

(는 모든 음이 아닌 실수 범위)

여기서 A(w)와 B(w)는 다음과 같다.

푸리에 변환의 단점[편집]

시간에 대한 연속성이 고려되지 않음으로써 많은 문제가 야기된다. 이러한 단점을 보완하기 위해 DTFT, 웨이블릿 변환, 가버변환, MFCCs 등등이 연구되어 나왔다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]