제곱평균제곱근

수학에서 제곱평균제곱근(root mean square; rms) 혹은 이차평균(quadratic mean)은 변화하는 값의 크기에 대한 통계적 척도이다. 이것은 특히 사인함수처럼 변수들이 음과 양을 오고 갈 때에 유용하다.

이것은 유한 값들의 급수 혹은 연속적으로 변화하는 함수에 대해 모두 계산될 수 있으며, 명칭 그대로 값들의 제곱에 대한 평균의 제곱근이다. 또한 이것은 멱평균에서 지수 p = 2인 특수한 경우이다.

정의

일련의 값들(혹은 연속시간 파형)에 대한 제곱평균제곱근은 원래의 값(혹은 연속시간 파형을 정의하는 함수의 제곱)의 제곱들에 대한 산술평균(평균)의 제곱근이다.

$n$ 개의 값들 $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ 에 대한 제곱평균제곱근은 다음과 같이 주어진다:

x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}.

구간 $T_{1}\leq t\leq T_{2}$ 에서 정의된 $f(t)$ 연속함수(혹은 파형)에 대응되는 식은 다음과 같다:

f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},

그리고 전체 시간에 대한 제곱평균제곱근은 다음과 같다:

f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.

주기함수의 경우 전체 시간에 대한 제곱평균제곱근은 한 주기의 제곱평균제곱근과 같다.

전기공학에서는 전압과 전류의 이차평균을 써서 평균 전력을 구할 수 있는데, 이 때 각 이차평균값을 전압과 전류의 실효값이라 한다.