노름

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선형대수학함수해석학에서 노름(영어: norm [*])은 벡터 공간의 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’를 부여하는 함수이다., 선형대수학함수해석학 등의 분야에서 쓰인다. 영 벡터의 노름은 0이며, 그 외의 모든 벡터는 양의 실수 노름을 갖는다. 한편, 영 벡터 이외의 벡터도 노름이 0이 될 수 있도록 조건을 약화한 것을 반노름(半norm, 영어: seminorm 세미놈[*])이라 한다.

정의[편집]

복소수체의 부분체 에 대한 벡터 공간 반노름이란 다음 두 조건들을 만족시키는 함수

이다.

  • (양의 동차성) 임의의 에 대하여,
  • (삼각 부등식) 임의의 에 대하여,

이 두 공리로부터 임을 알 수 있다.

노름은 다음 조건을 추가로 만족시키는 반노름 이다.

  • (양의 정부호성) 모든 에 대하여, 임은 임과 동치이다.

노름이 주어진 벡터 공간노름 공간(영어: normed space)이라 부르며, 반노름이 주어진 공간은 반노름 공간(영어: seminormed space)이라고 한다.

[편집]

모든 벡터 공간에서 자명 반노름 은 반노름을 이루지만, 이는 노름을 이루지 못한다.

는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 노름을 이룬다.

유클리드 공간에서의 노름[편집]

서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원.

임의의 에 대하여, 유클리드 공간 위에 다음과 같은 노름 을 정의할 수 있으며, 이를 p 노름이라고 한다.

여기서 인 경우는 표준적인 유클리드 노름

이다. 만약 일 경우는 상한 노름(영어: supremum norm)

이 된다. 인 경우는 맨해튼 노름

이 된다./

노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

바깥 고리[편집]