Lp 공간

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함수해석학에서, Lp 공간(영어: Lp-space)은 절댓값의 승이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

정의[편집]

측도 공간 및 수 가 주어졌다고 하고 가 (보렐 집합시그마 대수를 갖춘) 체라고 하자. 그렇다면 에 대한 위상 벡터 공간이며, 그 정의는 의 값에 따라 다음과 같다.

Lp (0 < p ≤ ∞)[편집]

가측 함수 에 대하여 다음과 같은 노름 을 정의하자.

그렇다면, 를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

여기서 는 두 측도 공간 사이의 가측 함수의 집합이다.

에 대한 벡터 공간을 이루며,

으로 몫공간을 취한 것을 라 한다.

이는 에 의한 열린 공

기저로 하는 위상을 주어, 위상 공간을 이룬다. 이 위상은 평행 이동에 대하여 불변인 거리 함수로 유도될 수 있다.

만약 이라면, 위의 완비 노름을 이루며, -바나흐 공간을 이룬다.

L0[편집]

인 경우, 은 모든 가측 함수 의 (동치류의) 공간이다. 이 경우, 측도수렴 위상을 부여하여 위상 벡터 공간으로 만든다.

p[편집]

만약 가 (셈측도를 갖춘) 자연수이산 공간 일 경우,

로 쓴다. 이 경우, 함수 값을 갖는 수열이 되고, 노름 은 다음과 같다.

성질[편집]

의 범위에 따라서, 공간의 성질은 다음과 같다.

의 범위 의 성질
위상 벡터 공간 (국소 볼록 공간이 아님)
바나흐 공간
분해 가능 힐베르트 공간
바나흐 공간

쌍대 공간[편집]

일 때, 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

구체적으로, 에 대하여

가 된다. 특히, 일 경우 는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 보다 훨씬 크다. 반면, 만약 가 가산개의 유한 측도 집합들의 합집합이라면, 이다.

역사[편집]

리스 프리제시가 1910년에 도입하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. Riesz, Frigyes (1910), “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen”, 《Mathematische Annalen》 69 (4): 449–497, doi:10.1007/BF01457637 
  2. Bourbaki, Nicolas (1987). 《Topological vector spaces》. Elements of Mathematics (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-13627-9. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]