멱평균

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멱평균(power mean), 일반화된 평균평균식을 일반화한 식으로, 산술평균, 기하평균, 조화평균 등을 포함한다.

0이 아닌 실수 p와 양의 실수 x_1, x_2, \cdots, x_n에 대해, 멱평균은 다음과 같이 정의된다.

M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p}

이때 p가 1일 때는 산술평균, -1일 때는 조화평균이 된다. 또한, p가 0에 가까워지는 극한의 경우에는 기하평균이 된다.

일반화된 f-평균 M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n \right)은 멱평균을 더 일반화한 식으로, 이 식을 사용하면 극한 개념을 사용하지 않고 기하평균을 얻을 수 있다. 또한 이때 f(x)=x^p인 경우에는 멱평균을 얻는다.