산술 기하 평균

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수학에서, 산술 기하 평균(算術幾何平均, 영어: arithmetic–geometric mean)은 산술 평균기하 평균 연산에 의한 점화 수열극한을 취하여 얻어진 평균값이다. 두 실수 x, y의 산술 기하 평균 M(x, y)는 다음과 같이 정의된다.

우선 두 수 x, y산술 평균a1, 기하 평균g1라고 하자.

a_{1} = \frac{x + y}{2}
g_{1} = \sqrt{x y}

이후 a1g1xy 자리에 넣어 이 연산을 반복하면 두 수열 (an), (gn)을 얻게 된다.

a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}
g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}

이 두 수열은 같은 값으로 수렴하며, 이 수렴값을 xy산술 기하 평균이라 한다. M(x, y) 또는 agm(x, y)로 표기한다.

[편집]

24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.

a_1=\frac{24+6}{2}=15
g_1=\sqrt{24\times 6}=12

이 과정을 다음과 같이 반복한다.

\begin{align}
a_2 & =\frac{15 + 12}{2}=13.5\\
g_2 & =\sqrt{15\times 12}=13.41640786499\dots\\
\dots
\end{align}

다섯번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.

n an gn
0 24 6
1 15 12
2 13.5 13.416407864998738178455042…
3 13.458203932499369089227521… 13.458139030990984877207090…
4 13.458171481745176983217305… 13.458171481706053858316334…
5 13.458171481725615420766820… 13.458171481725615420766806…

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 한 배 증가하는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.[1]

역사[편집]

두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 라그랑주의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 가우스에 의해 분석되었다.[2]

성질[편집]

기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다(산술-기하 평균 부등식), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최솟값보다 작다. 이러한 이유로 인해

\min\{x,y\}\le g_1\le g_2\le\cdots\le M(x,y)\le\cdots\le a_2\le a_1\le \max\{x,y\}

이 성립한다. x = y인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다.

위에서 알 수 있듯이, M(x, y)xy 사이에서, 더 정확히는 기하 평균과 산술 평균의 사이에서 값을 취한다.

r ≥ 0에 대해, M(rx, ry) = r · M(x, y)의 등식이 성립한다.

다음은 M(x, y)의 적분 형식이다.

\begin{align}
M(x,y)&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}}\\
      &=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}
\end{align}

여기서 K(k)제1종 완전 타원 적분이다.

K(k)=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2(\theta)}}

산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 타원 필터의 설계 등에 사용되기도 한다.[3]

관련 개념[편집]

1과 루트 2의 산술 기하 평균의 역수는 가우스 상수라고 불린다.

G=\frac{1}{M(1,\sqrt{2})}=0.8346268\ldots

기하 조화 평균은 이와 비슷하게 기하 평균과 조화 평균을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 기하 평균과 같다.

산술 기하 평균은 로그제1종 완전 타원 적분을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 제2종 완전 타원 적분을 효율적으로 계산할 수 있다.[4]

M의 존재성 증명[편집]

두 수열 (an), (gn)은 항상 같은 값으로 수렴한다. 다음은 이를 증명한 것이다.

산술-기하 평균 부등식에 의해 모든 n에 대해 다음이 성립한다.

g_n\le a_n

xy는 증명에 영향을 주지 않는 가정이다. 이 때 다음이 성립한다.

\begin{align}
x   &\le g_1 \\
a_1 &\le y
\end{align}

또한 다음과 같이 (an), (gn) 모두가 단조 수열임을 보일 수 있다.

g_{n+1}=\sqrt{g_n,a_n}\ge\sqrt{g_n,g_n}=g_n
a_{n+1}=\frac{g_n+a_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n

모든 부등식을 연립하면 다음을 얻는다.

x\le g_1\le g_2\le\cdots\le a_2\le a_1\le y

따라서 (an), (gn) 모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한

a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}

의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.

적분 형식의 증명[편집]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. agm(24, 6) - WolframAlpha
  2. David A. Cox (2004). 〈The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss〉. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein. 《Pi: A Source Book》 (영어). Springer. 481쪽. ISBN 978-0-387-20571-7.  여기에 처음 출간됨: L'Enseignement Mathématique t. 30 (1984), 275-330쪽
  3. Hercules G. Dimopoulos (2011). 《Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis》 (영어). Springer. 147–155쪽. ISBN 978-94-007-2189-0. 
  4. Adlaj, Semjon (September 2012), “An eloquent formula for the perimeter of an ellipse” (영어), 《Notices of the AMS》 59 (8): 1094–1099, doi:10.1090/noti879, 2013년 12월 14일에 확인함 

참고 문헌[편집]