기하 평균

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기하 평균(幾何平均)은 n개의 양수 값을 모두 곱한 것의 n제곱근이다. 예를 들어 2와 8의 기하평균은 4이다. 3이 6으로 바뀌면 2배로 증가한 것이고, 6이 48로 바뀌면 8배로 증가한 것인데, 2와 8의 기하 평균인 4를 3에 두 번 곱하면 48이 된다.

정의[편집]

집합 {a1, a2, …, an}의 기하 평균은 다음과 같다.

어떤 숫자들의 기하 평균은 그 숫자들의 산술 평균보다 언제나 작거나 같으며, 특히 모든 숫자가 같을 경우에 두 평균이 같아진다.

기하 평균은 산술 조화 평균이기도 하다. 두 수열 (an)과 (hn)을 다음과 같이 정의했을 때,

anhn은 모두 xy의 기하 평균으로 수렴한다.

로그의 산술평균과의 관련[편집]

로그 항등식을 사용해서 기하평균 공식을 변환시키면, 곱셈을 덧셈으로, 제곱을 곱셈으로 바꿔서 다음과 같은 공식을 만들 수 있다.

즉, 어떤 숫자들의 기하평균은 그 숫자들의 로그값에 대해 산술평균을 구한 뒤 지수 함수를 취한 것과 같다. 다른 말로 하면, 기하 평균은 f(n) = ln x일 때의 일반화된 f-평균이다.

기하평균의 필요성[편집]

곱셈으로 계산하는 값에서의 평균을 계산하고자 할 때 산술 평균이 아닌 기하 평균을 사용한다. 예를 들어 어떤 값이 처음에 1000이고, 첫 해에 10% 증가하고, 그 다음 해에 20% 증가하고, 그 다음 해에 15% 감소했다고 할 때 결과 값은 처음의 값 1000에 1.1, 1.2, 0.85의 기하평균을 세 번 곱한 값이 된다. 1.1, 1.2, 0.85의 기하평균 (1.1 × 1.2 × 0.85)1/3 = 1.0391...이므로, 3년동안 평균 3.91%씩 증가한 셈이다. 즉, 1000 × 1.1 × 1.2 × 0.85 = 1000 × (1.0391)3 이다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]