표준 오차 (標準誤差, 영어 : standard error, SE )는 통계 의 표본 분포 의 표준 편차 이다.[ 1] 평균의 표준 오차 (平均- 標準誤差, 영어 : standard error of the mean, SEM )는 표본 평균 분포 의 표준 편차를 가리킨다. 표준오차는 단관측에 대한 표준편차를
n
{\displaystyle {\sqrt {n}}}
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
잔차 라 할 때,
σ
=
±
Σ
(
x
−
x
¯
)
2
n
(
n
−
1
)
=
±
Σ
ν
2
n
(
n
−
1
)
{\displaystyle \sigma =\pm {\sqrt {\frac {\Sigma (x-{\bar {x}})^{2}}{n(n-1)}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n(n-1)}}}}
만일 경중률 이 다르다면 다음과 같이 계산한다. 경중률을 w라 할 때,[ 2]
σ
=
±
Σ
w
(
x
−
x
¯
)
2
(
Σ
w
)
(
n
−
1
)
=
±
Σ
w
ν
2
(
Σ
w
)
(
n
−
1
)
{\displaystyle \sigma =\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w(x-{\bar {x}})^{2}}{(\Sigma w)(n-1)}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w\nu ^{2}}{(\Sigma w)(n-1)}}}}
모 평균 에 대한 표준 오차(standard error of the mean, SEM)는
σ
x
¯
=
σ
n
{\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
σ는 모집단 표준편차 (standard deviation), n은 모집단 의 크기
σ
x
¯
≈
s
n
{\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {s}{\sqrt {n}}}}
표본 표준 편차 s를 이용하여 근사값으로 구하기
s
x
¯
=
s
n
{\displaystyle {\text{s}}_{\bar {x}}\ ={\frac {s}{\sqrt {n}}}}
s는 표본 의 표준편차 (standard deviation), n은 표본 의 크기 표본 평균 에 대한 표준 편차 는 표본 평균 의 오차 에 대한 표준 편차 와 동일하다. 이러한 맥락은 중심극한정리 (CLT)를 의미한다.
모집단에서 취한 표본 평균값의 분포는 표본 수가 커질수록 평균값을 중심으로 하는 정규 분포에 가까워진다고하는 중심극한정리 의 예는
다음과 같다.
표준편차 의 정의에 의해서 확률변수
X
{\displaystyle X}
모 집단 의 표준 편차
σ
X
{\displaystyle \sigma _{X}}
σ
X
=
E
(
(
X
−
E
(
X
)
)
2
)
{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}}
분산 의 정의에 의해서 확률변수
X
{\displaystyle X}
기댓값 (혹은 평균)
μ
=
E
(
X
)
{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}
var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {var} (X)}
var
(
X
)
=
E
(
(
X
−
μ
)
2
)
{\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2})}
따라서 표본 평균 (sample mean)
X
¯
{\displaystyle {\overline {X}}}
σ
X
2
=
E
(
(
X
¯
−
E
(
X
¯
)
)
2
)
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\operatorname {E} \left(\left({\overline {X}}-\operatorname {E} \left({\overline {X}}\right)\right)^{2}\right)}
v
a
r
(
X
¯
)
=
σ
X
2
{\displaystyle var\left({\overline {X}}\right)=\sigma _{X}^{2}}
v
a
r
(
X
1
+
X
2
+
X
3
+
⋯
+
X
n
n
)
=
σ
X
2
{\displaystyle var\left({{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}} \over {n}}\right)=\sigma _{X}^{2}}
v
a
r
(
1
n
(
X
1
+
X
2
+
X
3
+
⋯
+
X
n
)
)
=
σ
X
2
{\displaystyle var\left({{1} \over {n}}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)=\sigma _{X}^{2}}
1
n
(
v
a
r
(
1
n
(
X
1
+
X
2
+
X
3
+
⋯
+
X
n
)
)
)
=
1
n
(
σ
X
2
)
{\displaystyle {{1} \over {n}}\left(var\left({{1} \over {n}}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)\right)={{1} \over {n}}\left(\sigma _{X}^{2}\right)}
1
n
2
(
v
a
r
(
X
1
+
X
2
+
X
3
+
⋯
+
X
n
)
)
=
σ
X
2
n
{\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\left(var\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}
1
n
2
(
v
a
r
(
X
1
)
+
v
a
r
(
X
2
)
+
v
a
r
(
X
3
)
+
⋯
+
v
a
r
(
X
n
)
)
=
σ
X
2
n
{\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\left(var(X_{1})+var(X_{2})+var(X_{3})+\cdots +var(X_{n})\right)={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}
1
n
2
v
a
r
(
X
1
)
+
1
n
2
v
a
r
(
X
2
)
+
1
n
2
v
a
r
(
X
3
)
+
⋯
+
1
n
2
v
a
r
(
X
n
)
=
σ
X
2
n
{\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}var(X_{1})+{{1} \over {n^{2}}}var(X_{2})+{{1} \over {n^{2}}}var(X_{3})+\cdots +{{1} \over {n^{2}}}var(X_{n})={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}
1
n
2
σ
X
2
+
1
n
2
σ
X
2
+
1
n
2
σ
X
2
+
⋯
+
1
n
2
σ
X
2
=
σ
X
2
n
{\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+\cdots +{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}
(
1
+
1
+
1
+
⋯
+
1
n
2
)
σ
X
2
=
σ
X
2
n
{\displaystyle \left({{1+1+1+\cdots +1} \over {n^{2}}}\right)\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}
n
n
2
σ
X
2
=
σ
X
2
n
{\displaystyle {{n} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}
1
n
σ
X
2
=
1
n
σ
X
2
{\displaystyle {{1} \over {n}}\sigma _{X}^{2}={{1} \over {n}}\sigma _{X}^{2}}
σ
X
2
=
σ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sigma _{X}^{2}}
↑ Everitt, B.S. (2003) The Cambridge Dictionary of Statistics , CUP. ISBN 0-521-81099-X
↑ 이재기; 최석근; 박경식; 정성혁 (2013). 《측량학1》 2판. 형설출판사. 78-79쪽.
