수열의 극한

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
미적분학
v  d  e  h

수열의 극한(limit of sequences)은 해석학의 바탕이 되는 중요한 개념 가운데 하나이다. 수열의 극한 개념은 함수의 극한으로 확장되었으며 이는 해석학의 중요한 도구인 미분적분의 개념을 정립하는 데 결정적인 역할을 했다.

직관적으로 말해, 수열 \{a_n\}\,이 수렴한다는 것은 어떤 유한하며, 고정된 수 A\,가 있어 수열의 첨자 n\,이 커짐에 따라 a_n\,A\,에 한없이 가까워지는 것을 말한다. 이때 A\,수열 \{a_n\}\,의 극한이라고 한다. 예를 들어 수열 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots\,a_n = \frac{1}{n}\,인 수열로 n\,이 커짐에 따라 a_n\,0\,에 한없이 가깝게 되므로 수렴하며, 그 극한은 0\,이다. 수열이 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 발산하는 수열은 극한을 갖지 않는다. 예를 들어 수열 0, 1, 0, 1, \cdots\,a_n =\frac{1+(-1)^{n}}{2}\,인 수열로 n\,이 아무리 커져도 a_n\,은 어떤 고정된 값에 한없이 가깝게 되지 않으므로 발산한다.

역사[편집]

정의[편집]

수열의 극한은 고정된 유한한 점 근방에서 수열의 특성을 규정하는 것이다. 즉, 수열이 어떤 한 점을 극한으로 갖는다는 것은 그 점을 중심으로 하는 아무리 작은 근방을 생각해도 그 근방 안에 수열의 모든 점들이 들어와 있어야 하며 들어오지 않는 점의 수는 기껏해야 유한 개인 경우를 말한다. 아래의 정의는 이를 수학적으로 엄격하게 표현한 것이며 이와 같은 정의는 수학자 오귀스탱 루이 코시에 의해 형식화되었다. 또한 수열의 극한에 대한 개념은 거리 공간, 위상 공간으로까지 일반화되어 엄밀하게는 점열(sequence of points)의 극한을 규정할 수 있게 되었다.

실수열의 극한[편집]

A가 수열 \{a_n\}의 극한이라고 함은 임의로 주어진 \epsilon>0에 대해 n \ge N이면

|a_n -A|<\epsilon

을 만족하게 하는 자연수 N이 존재하는 것을 말하고, 이것을

\lim_{n \to \infty} a_n=A 또는 n \to \infty일 때 a_n \to A

로 나타낸다.

거리 공간에서 수열의 극한[편집]

d\,거리 함수로 갖는 거리 공간 X에서 A가 수열 \{x_n\}의 극한이라고 함은 임의로 주어진 \epsilon>0에 대해 n \ge N이면

d(x_n, A)<\epsilon

을 만족하게 하는 자연수 N이 존재하는 것을 말하고, 이것을

\lim_{n \to \infty} x_n=A\, 또는 n \to \infty일 때 x_n \to A

로 나타낸다.

위상 공간에서 수열의 극한[편집]

x_0를 위상 공간 T에서 정의된 수열(sequence of points) \{x_n\}의 '극한이라고 함은 점 x_0의 임의로 주어진 근방 O(또는 점 x_0을 포함하는 열린집합)에 대해 n \ge N이면

x_n \in O\,

를 만족하게 하는 자연수 N이 존재하는 것을 말하고, 이것을

\lim_{n \to \infty} x_n=x_0 또는 n \to \infty일 때 x_n \to x_0

로 나타낸다.

몇 가지 예[편집]

  • 수열 1, -1, 1, -1, 1, \cdots\,는 발산(진동)한다.
  • 수열 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \cdots\,는 수렴하며 0을 극한으로 한다.
  • 다음은 잘 알려진 수렴하는 수열의 예이다.
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ if } p > 0

\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{ if } |a| < 1
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ if } a>0

수열의 극한에 관한 정리[편집]

사칙연산[편집]

두 수열  \{x_n\}\,,  \{y_n\}\,가 모두 수렴하고


\lim_{n \to \infty}x_n = L_1
, \lim_{n \to \infty}y_n = L_2

일 때 다음이 성립한다.


\lim_{n \to \infty}cx_n = cL_1
, (c\,는 상수)

\lim_{n \to \infty}(x_n+y_n) = L_1 + L_2

\lim_{n \to \infty}(x_ny_n) = L_1L_2

\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{L_1}{L_2}, (y_n\neq 0, \,\,L_2\neq 0)

수열의 성질[편집]

  • 수렴하는 수열은 유계이다. 즉 \{ a_n\in \mathbb{R}: n \in \mathbb{N}\}이 수렴하면 모든 자연수 n에 대해
|a_n|\le M
인 실수  M>0이 존재한다.

수열 \{ a_n\in \mathbb{R}: n \in \mathbb{N}\}에 대해

\{ a_{n_k}: n_k \in \mathbb{N}\},\,\,\,\,n_1<n_2<n_3\cdots

을 수열 \{ a_n\}부분수열(subsequence)이라고 한다.

  • 수렴하는 수열의 부분수열은 수렴하며 그 극한은 원래 수열의 극한과 같다.
  • 유계인 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 포함한다.(볼차노-바이어슈트라스 정리)

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]