수열의 극한

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미적분학
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수열의 극한(limit of sequences)은 해석학의 바탕이 되는 중요한 개념 가운데 하나이다. 수열의 극한 개념은 함수의 극한으로 확장되었으며 이는 해석학의 중요한 도구인 미분적분의 개념을 정립하는 데 결정적인 역할을 했다.

직관적으로 말해, 수열 \{a_n\}\,이 수렴한다는 것은 어떤 유한하며, 고정된 수 A\,가 있어 수열의 첨자 n\,이 커짐에 따라 a_n\,A\,에 한없이 가까워지는 것을 말한다. 이때 A\,수열 \{a_n\}\,의 극한이라고 한다. 예를 들어 수열 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots\,a_n = \frac{1}{n}\,인 수열로 n\,이 커짐에 따라 a_n\,0\,에 한없이 가깝게 되므로 수렴하며, 그 극한은 0\,이다. 수열이 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 발산하는 수열은 극한을 갖지 않는다. 예를 들어 수열 0, 1, 0, 1, \cdots\,a_n =\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}\,인 수열로 n\,이 아무리 커져도 a_n\,은 어떤 고정된 값에 한없이 가깝게 되지 않으므로 발산한다.

정의[편집]

수열의 극한은 고정된 유한한 점 근방에서 수열의 특성을 규정하는 것이다. 즉, 수열이 어떤 한 점을 극한으로 갖는다는 것은 그 점을 중심으로 하는 아무리 작은 근방을 생각해도 그 근방 안에 수열의 모든 점들이 들어와 있어야 하며 들어오지 않는 점의 수는 기껏해야 유한 개인 경우를 말한다. 아래의 정의는 이를 수학적으로 엄격하게 표현한 것이며 이와 같은 정의는 수학자 코시에 의해 형식화되었다. 또한 수열의 극한에 대한 개념은 거리공간, 위상공간으로까지 일반화되어 엄밀하게는 점열(sequence of points)의 극한을 규정할 수 있게 되었다.

실수열의 극한
A\,가 수열 \{a_n\}\,의 극한이라고 함은 임의로 주어진 \epsilon>0\,에 대해 n \ge N\,이면
|a_n -A|<\epsilon\,
을 만족하게 하는 자연수 N\,이 존재하는 것을 말하고, 이것을
\lim_{n \to \infty} a_n=A\, 또는 n \to \infty\,일 때 a_n \to A\,
로 나타낸다.
거리공간에서 수열의 극한
d\,거리함수로 갖는 거리공간 X\,에서 A\,가 수열 \{x_n\}\,의 극한이라고 함은 임의로 주어진 \epsilon>0\,에 대해 n \ge N\,이면
d(x_n, A)<\epsilon\,
을 만족하게 하는 자연수 N\,이 존재하는 것을 말하고, 이것을
\lim_{n \to \infty} x_n=A\, 또는 n \to \infty\,일 때 x_n \to A\,
로 나타낸다.
위상공간에서 수열의 극한
x_0\,를 위상공간 T\,에서 정의된 수열(sequence of points) \{x_n\}\,의 극한이라고 함은 점 x_0\,의 임의로 주어진 근방 O\,(또는 점 x_0\,을 포함하는 열린집합)에 대해 n \ge N\,이면
x_n \in O\,
를 만족하게 하는 자연수 N\,이 존재하는 것을 말하고, 이것을
\lim_{n \to \infty} x_n=x_0\, 또는 n \to \infty\,일 때 x_n \to x_0
로 나타낸다.

몇 가지 예[편집]

  • 수열 1, -1, 1, -1, 1, ...\,는 발산한다.
  • 수열 1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \cdots\,는 수렴하며 0을 극한으로 한다.
  • 다음은 잘 알려진 수렴하는 수열의 예이다.
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ if } p > 0

\lim_{n\to\infty} a^n = 0 \hbox{ if } |a| < 1
\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ if } a>0

수열의 극한에 관한 정리[편집]

극한정리[편집]

두 수열  \{x_n\}\,,  \{y_n\}\,가 모두 수렴하고


\lim_{n \to \infty}x_n = L_1
, \lim_{n \to \infty}y_n = L_2

일 때 다음이 성립한다. 이를 수열의 극한정리라고 한다.


\lim_{n \to \infty}cx_n = cL_1
, (c\,는 상수)

\lim_{n \to \infty}(x_n+y_n) = L_1 + L_2

\lim_{n \to \infty}(x_ny_n) = L_1L_2

\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{L_1}{L_2}, (y_n\neq 0, \,\,L_2\neq 0\,)

수열의 성질[편집]

  • 수렴하는 수열은 유계이다. 즉 \{ a_n\in \mathbb{R}: n \in \mathbb{N}\}\,이 수렴하면 모든 자연수 n\,에 대해
|a_n|\le M \,
인 실수  M>0\,이 존재한다.

수열 \{ a_n\in \mathbb{R}: n \in \mathbb{N}\}\,에 대해

\{ a_{n_k}: n_k \in \mathbb{N}\},\,\,\,\,n_1<n_2<n_3\cdots

을 수열 \{ a_n\}\,부분수열(subsequence)이라고 한다.

  • 수렴하는 수열의 부분수열은 수렴하며 그 극한은 원래 수열의 극한과 같다.
  • 유계인 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 포함한다.(Bolzano-Weierstrass 정리)

같이 보기[편집]

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