수열의 극한

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수학에서, 수열의 극한(數列-極限, 영어: limit of a sequence)은 수열이 한없이 가까워지는 값이다. 직관적으로, 수열 (an)수렴(收斂, 영어: convergent)한다는 것은 n이 커짐에 따라 an이 어떤 고정된 값 a에 한없이 가까워지는 것을 뜻한다. 이때 a를 수열 {an}극한이라고 한다. 수열이 수렴하지 않으면 발산(發散, 영어: divergent)한다고 한다.

예를 들어, 수열 an = 1/n은 0에 한없이 가까워지므로 수렴하며, 그 극한은 0이다. 수열 an = (-1)n은 어떤 고정된 값에 한없이 가까워지지 않으므로 발산한다.

수열의 극한은 실수 집합, 나아가 거리 공간위상 공간 위에 정의될 수 있다.

수열의 극한은 해석학의 바탕이 되는 중요한 개념 가운데 하나이다. 확장된 개념인 함수의 극한은 해석학의 중요한 도구인 미분적분의 개념을 정립하는 데 결정적인 역할을 했다.

역사[편집]

엘레아의 제논은 극한 과정과 관련된 역설인 제논의 역설로 유명하다.

레우키포스 · 데모크리토스 · 안티폰 · 크니도스의 에우독소스 · 아르키메데스실진법, 즉 무한 수열에 의한 근사를 통해 넓이나 부피를 구하는 방법을 만들었다. 아르키메데스는 지금은 기하 급수라고 불리는 것의 합을 구하는 데 성공했다.

아이작 뉴턴은 그의 《무한 급수 해석》(1669년 작성, 1711년 원고 출판) · 《유율법과 무한 급수》(1671년 작성, 1736년 영어 번역본 출판) · 《곡선 구적법 논문》(1693년 작성, 1704년 그의 《광학》의 부록에 출판)에서 급수에 대해 다루었다.

18세기, 레온하르트 오일러를 비롯한 수학자들은

실수 수열[편집]

정의[편집]

실수 이 주어졌다고 하자. 실수 수열 이 만약

  • 임의의 실수 에 대하여, 모든 에 대하여 이게 되는 자연수 이 존재한다.

를 만족시키면, 수렴한다고 하며, 극한이라고 한다. 이는

또는

와 같이 표기한다.

즉, 실수 수열의 극한은, 항이 궁극적으로 임의의 오차 범위 이내로 근접하는 값이다.

성질[편집]

수렴하는 수열은 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 수렴 수열의 극한은 유일하다.
  • 수렴 수열 유계 수열이다. 즉, 을 항상 만족시키는 이 존재한다.
  • 수렴 수열 , 이 모든 에 대하여 이게 되는 이 존재한다면, 이다.
  • 수렴 수열 , 이면, 모든 에 대하여 이게 되는 이 존재한다.

수열의 수렴성은 다음과 같이 판정할 수 있다.

  • (샌드위치 정리) 수열 , , 이 모든 에 대하여 이게 되는 이 존재하고, 이면, 이다.
  • (단조 수렴 정리) 단조 유계 수열은 수렴 수열이다.
  • 모든 실수 코시 수열은 수렴 수열이다.

주어진 수열 부분 수열은, 어떤 강한 증가 함수 를 써서 와 같은 형식을 갖는 수열이다. 수열과 그 부분 수열의 수렴성의 관계는 다음과 같다.

실수열에 대한 사칙 연산과 극한 연산의 순서는 교환 가능하다. 즉, 두 수렴 수열 , 의 극한이

라고 하면, 다음이 성립한다.

특히, 다음 성질들도 성립한다.

[편집]

다음은 잘 알려진 수렴하는 수열의 예이다.

  • (는 상수)

십진법에 의한 내림 근사 통해, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들 수 있다. 이렇게 만든 수열은 모두 코시 수열이다.

  • 수열 0.3, 0.33, 0.333, ...1/3로 수렴한다.
  • 수열 1.4, 1.41, 1.414, ...2로 수렴한다.

다음 수열의 극한은 직관적이지 않다.

  • (오일러의 수)
  • (오일러-마스케로니 상수)
  • 산술 평균기하 평균에 의한 두 점화 수열은 모두 산술 기하 평균으로 수렴한다.

다음은 어떤 의미에서 수열이 무한대로 발산하는 속도를 반영한다.

무한대 수렴[편집]

실수 수열 무한대 수렴은 다음과 같은 두 경우로 정의된다. 무한대로 수렴하는 수열은 일반적으로 수렴 수열로 간주되지 않는다.

  • 만약 임의의 실수 에 대하여, 모든 에 대하여 이게 되는 자연수 이 존재한다면, 이 양의 무한대로 수렴(또는 발산)한다고 하고, 또는 로 표기한다.
  • 만약 임의의 실수 에 대하여, 모든 에 대하여 이게 되는 자연수 이 존재한다면, 이 음의 무한대로 수렴(또는 발산)한다고 하고, 또는 라고 한다.

예를 들어,

무한대 발산은 발산과 다른 개념인 데 주의하자. 예를 들어,

  • 수열 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...은 발산 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.
  • 수열 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...은 발산 수열이자 무계 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.

거리 공간[편집]

정의[편집]

거리 공간 (집합, 거리 함수) 및 그 속의 원소 가 주어졌다고 하자. 만약 거리 공간 위의 점렬 이 다음 조건을 만족시키면, 수렴한다고 하며, 극한이라고 한다. 또한 이를 또는 로 표기한다.

  • 모든 에 대하여, 모든 에 대하여 이게 되는 자연수 이 존재한다

즉, 거리 공간 위의 점렬의 극한 역시 점렬이 궁극적으로 임의의 오차 범위 이내로 접근하는 값이다. 오차에 대한 척도는 주어진 거리 함수이다. 또한, 만약 실수의 표준적인 거리 를 사용하면, 실수 수열에 대한 정의는 거리 공간에 대한 정의에 포함된다.

성질[편집]

  • 수렴 점렬의 극한은 유일하다. (이는, 어떤 점렬도 동시에 두 다른 점으로 그 둘 사이의 거리의 반 이내로 접근할 수는 없기 때문이다.)
  • 수렴 점렬은 항상 유계 점렬이다.
  • 코시 점렬이 항상 수렴 점렬일 필요는 없다. 코시 점렬이 항상 수렴 점렬인 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다. 그러나, 만약 코시 점렬에게 수렴 부분 점렬이 존재한다면, 그 코시 점렬은 수렴한다.
  • 거리 공간 위의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
    • 연속 함수이다.
    • 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다. 즉, 는 임의의 점렬의 극한을 보존한다.

위상 공간[편집]

정의[편집]

위상 공간 (집합, 위상) 및 그 속의 원소 가 주어졌다고 하자. 위상 공간 위의 점렬 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 수렴한다고 하며, 극한이라고 한다. 또한 이를 또는 로 표기한다.

  • 의 임의의 근방 에 대하여, 모든 에 대하여 이게 되는 자연수 이 존재한다.
  • 를 포함하는 열린 집합 에 대하여, 모든 에 대하여 이게 되는 자연수 이 존재한다.

즉, 위상 공간 위의 점렬의 극한 역시 점렬이 궁극적으로 임의의 오차 범위 이내로 접근하는 값이다. 오차에 대한 척도는 주어진 위상이다. 또한, 만약 거리 공간의 표준 위상을 사용하면, 거리 공간에 대한 정의는 위상 공간에 대한 정의에 포함된다.

성질[편집]

  • 수렴 수열의 극한이 유일할 필요는 없다. 예를 들어, 비이산 위상 공간 속의 임의의 수열은 그 속의 임의의 점으로 수렴한다. 그러나 하우스도르프 공간의 경우, 수렴 수열의 극한은 유일하다.
  • 위상 공간 사이의 연속 함수는 수열의 극한을 보존한다. 그러나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]