수열의 극한

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미적분학
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수열의 극한(limit of sequences)은 해석학의 바탕이 되는 중요한 개념 가운데 하나이다. 수열의 극한 개념은 함수의 극한으로 확장되었으며 이는 해석학의 중요한 도구인 미분적분의 개념을 정립하는 데 결정적인 역할을 했다.

직관적으로 말해, 수열 \{a_n\}\,이 수렴한다는 것은 수열의 첨자 n\,이 커짐에 따라 a_n\,이 어떤 고정된 유한한 값 a\,에 한없이 가까워지는 것을 말한다. 이때 a\,수열 \{a_n\}\,의 극한이라고 한다. 수열이 수렴하지 않으면 (즉 극한을 갖지 않으면) 발산한다고 한다.

예를 들어 수열 \textstyle{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\,}0\,에 점차 한없이 가까워지므로 수렴하며, 그 극한은 0\,이다. 수열 0, 1, 0, 1, \ldots\,는 어떤 고정된 값에 점차 한없이 가까워지지 않으므로 발산한다.

수열의 극한은 실수 집합, 넓게는 임의의 거리 공간위상 공간 위에 정의될 수 있다.

역사[편집]

실수열의 극한[편집]

정의[편집]

a\in\R\{a_n\}\subseteq\R의 극한이라고 함은, 임의의 실수 \epsilon>0에 대해, n>N이면 |a_n-a|<\epsilon임을 만족시키는 자연수 N이 존재하는 것을 말하고, 이것을

\lim_{n\to\infty}a_n=a

또는

a_n\to a\,(n\to\infty)

로 나타낸다. 이때 실수열 \{a_n\}이 실수 a로 수렴한다고 하고, 어떤 값으로 수렴하는 수열을 수렴수열이라고 한다.

정의를 형식적으로 표현하면 다음과 같다.

\forall\epsilon>0\;\exists N\in\N\;\forall n\in\N:n>N\Rightarrow|a_n-a|<\epsilon

풀어서 말하면, 수열의 항이 최종적으로 일정한 값에 임의의 오차 범위 이내로 근접한다는 것이다.

성질[편집]

기본 성질[편집]

  • 수렴하는 수열의 극한은 유일하다.
  • 수렴하는 수열은 유계이다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 |a_n|\le M를 만족시키는 실수 M>0이 존재한다.
  • 수렴 수열 \{x_n\}, \{y_n\}에 대해, x_n\le y_n이 어떤 N보다 큰 모든 n에 대해 성립한다면, \lim_{n\to\infty}x_n\le\lim_{n\to\infty}y_n이다.
  • 수렴 수열 \{x_n\}, \{y_n\}에 대해, \lim_{n\to\infty}x_n<\lim_{n\to\infty}y_n이면, 어떤 N보다 큰 임의의 n에 대해 x_n<y_n이 성립한다.
  • x_n\le y_n\le z_n이 모든 n>N에 대해 성립하고, \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=L이면, \lim_{n\to\infty}y_n=L이다. (샌드위치 정리)
  • 단조이며 유계인 수열은 수렴한다. (단조 수렴 정리)

부분 수열[편집]

수열 \{a_n:n\in\N\}강한 증가 함수 f:\N\to\N,\ k\mapsto n_k 대해 수열

\{a_{n_k}:k\in\N\}

을 수열 \{a_n\}부분 수열이라고 한다. 예를 들어 수열 1, 3, 5, 7. ...는 수열 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...의 부분 수열이다.

수열과 그 부분 수열의 수렴성의 관계는 다음과 같다.

  • 수렴하는 수열의 모든 부분 수열은 수렴하며, 그 극한은 원래 수열의 극한과 같다.
  • 수열이 수렴할 필요충분조건은, 그의 모든 부분 수열이 수렴한다는 것이다.

볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하면, 유계인 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 포함한다.

연산[편집]

두 수열  \{x_n\}\,,  \{y_n\}\,이 모두 수렴하고

\lim_{n\to\infty}x_n=x
\lim_{n\to\infty}y_n=y

일 때, 일반적으로 사칙연산과 극한의 순서는 교환 가능하다. 즉, 다음이 성립한다.

  • \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=x+y
  • \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=x-y
  • \lim_{n\to\infty}x_ny_n=xy
  • \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{x}{y} (y_n\neq 0\,, y\neq 0)

또한 아래의 성질도 성립한다.

  • \lim_{n\to\infty}(c+x_n)=c+x
  • \lim_{n\to\infty}cx_n=cx
  • \lim_{n\to\infty}x_n^{\alpha}=x^{\alpha} (\alpha\in\R)

[편집]

  • 수열 1, -1, 1, -1, 1, \ldots\,는 발산(진동)한다.
  • 수열 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\ldots\,는 수렴하며 0을 극한으로 한다.
  • 다음은 잘 알려진 수렴하는 수열의 예이다.
    • \lim_{n\to\infty}c=c, c는 상수
    • \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p}=0,\ p > 0
    • \lim_{n\to\infty}a^n=0,\ |a|<1
    • \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1,\ a>0
    • \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1
  • 임의의 실수로 수렴하는 수열을 십진법에 의한 내림 근사를 이용하여 만들 수 있다. 예를 들어 수열 0.3,0.33,0.333,\ldots\frac13로 수렴한다. 비슷하게 수열 1.4,1.41,1.414,\ldots\sqrt{2}로 수렴한다. 이렇게 만든 수열은 모두 코시 수열이다.
  • 다음 수열의 극한은 직관적이지 않을 수 있다.

무한대로의 수렴[편집]

수열이 무한대로 수렴하는 것을 (무한대로 발산한다고도 한다) a_n\rightarrow\infty\,(n\to\infty) 또는 \lim_{n\to\infty}a_n=\infty로 표기하며 다음과 같이 정의한다. 임의의 실수 K에 대해, a_n>K를 모든 n>N에게 만족시키는 자연수 N이 존재한다. 즉,

\forall K\in\R\;\exists N\in\N\;\forall n\in\N:n>N\Rightarrow a_n>K

비슷하게 음의 무한대로 수렴(발산)하는 것을 a_n\rightarrow-\infty\,(n\to\infty) 또는 \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty로 표기하며 다음과 같이 정의한다. 임의의 실수 K에 대해, a_n<K를 모든 n>N에게 만족시키는 자연수 N이 존재한다. 즉,

\forall K\in\R\;\exists N\in\N\;\forall n\in\N:n>N\Rightarrow a_n<K

그 예로 다음이 있다.

  • \lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty
  • \lim_{n\to\infty}\ln{n}=\infty

수렴성의 좁은 의미에서 무한대로의 수렴은 수렴이 아닌 발산이다. 또 주의할 점은, 무한대로 수렴하는 것과 발산하는 것은 다르다는 것이다. 예를 들어 두 수열

0,1,0,-1,0,1,0,-1,\ldots
1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,\ldots

는 발산하지만 음이나 양의 무한대로 수렴하지 않는다.

거리 공간[편집]

정의[편집]

d거리 함수로 갖는 거리 공간 X에서 x\in X가 수열 \{x_n\}\subseteq X의 극한이라고 함은, 임의의 실수 \epsilon>0에 대해 n>N이면 d(x_n,x)<\epsilon임을 만족하게 하는 자연수 N이 존재하는 것을 말하고, 이것을

\lim_{n\to\infty}x_n=x

또는

x_n\rightarrow x\,(n\to\infty)

로 나타낸다.

이를 형식화하면 다음과 같다.

\forall\epsilon>0\;\exists N\in\N\;\forall n\in\N:n>N\Rightarrow d(x_n,x)<\epsilon

이 정의에서 X=\R, d(x,y)=|x-y|라 두면 실수열에 대한 정의와 일치한다.

성질[편집]

f연속함수이고 x_n\to x이면, f(x_n)\to f(x)이다. 나아가 f가 연속함수일 필요충분조건은 f가 임의의 수열의 극한을 보존한다는 것이다.

수열의 극한이 존재한다면 그는 유일하다. 이유는, 두 다른 점은 양수의 거리만큼 떨어져 있어서, 그 거리의 반 이하를 \epsilon으로 취했을 때, 수열의 항이 최종적으로 동시에 두 점과 \epsilon만큼 가까워질 수는 없기 때문이다.

위상 공간[편집]

정의[편집]

x를 위상 공간 T에서 정의된 수열(점렬, sequence of points) \{x_n\}의 극한이라고 함은 점 x의 임의로 주어진 근방 O(또는 점 x을 포함하는 열린집합)에 대해 n\ge N이면 x_n\in O임을 만족하게 하는 자연수 N이 존재하는 것을 말하고, 이것을

\lim_{n\to\infty}x_n=x

또는

x_n\to x\,(n\to\infty)

로 나타낸다.

수직선, 평면 등의 유클리드 공간거리 공간의 한 부분이며 또한 거리 공간위상 공간의 한 부분이다. 그러므로 위의 정의는 모두 위상 공간에서의 수렴의 정의로 설명할 수 있다.

성질[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]