수열의 극한

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수열의 극한(數列-極限, limit of a sequence)은 수열이 점차 한없이 가까워지는 값이다. 수열 {an}수렴(收斂, convergent)한다는 것은 직관적으로 첨자 n이 커짐에 따라 an이 어떤 고정된 유한한 값 a에 한없이 가까워지는 것을 말한다. 이때 a를 수열 {an}극한이라고 한다. 수열이 수렴하지 않으면 (즉 극한을 갖지 않으면) 발산(發散, divergent)한다고 한다. 예를 들어 수열 an = 1/n은 0에 한없이 가까워지므로 수렴하며, 그 극한은 0이다. 수열 an = (-1)n은 어떤 고정된 값에 한없이 가까워지지 않아 발산한다.

수열의 극한은 실수 집합, 넓게는 임의의 거리 공간위상 공간 위에 정의될 수 있다.

수열의 극한은 해석학의 바탕이 되는 중요한 개념 가운데 하나이다. 확장된 개념인 함수의 극한은 해석학의 중요한 도구인 미분적분의 개념을 정립하는 데 결정적인 역할을 했다.

역사[편집]

엘레아의 제논극한 과정과 관련된 역설로 유명하다.

레우키포스, 데모크리토스, 안티폰, 에우독소스, 아르키메데스실진법, 즉 무한 수열에 의한 근사를 통해 넓이나 부피를 구하는 방법을 만들었다. 아르키메데스는 지금은 기하급수라고 불리는 것의 합을 구하는 데 성공했다.

실수열의 극한[편집]

정의[편집]

주어진 실수 와 실수열 에 대하여, 의 극한이다(또는 로 수렴한다)고 함은, 임의의 실수 에 대해, 이면 임을 만족시키는 자연수 이 존재하는 것을 말하고, 이것을

또는

로 나타낸다. 정의를 형식적으로 표현하면 다음과 같다.

풀어서 말하면, 수열의 항이 일정한 값에 최종적으로 임의의 오차 범위 이내로 근접한다는 것이다.

성질[편집]

기본 성질[편집]

  • 수렴하는 수열의 극한은 유일하다.
  • 수렴하는 수열은 유계이다. 즉, 모든 자연수 에 대해 를 만족시키는 실수 이 존재한다.
  • 수렴 수열 에 대해, 이 어떤 보다 큰 모든 에 대해 성립한다면, 이다.
  • 수렴 수열 에 대해, 이면, 어떤 보다 큰 임의의 에 대해 이 성립한다.
  • 이 모든 에 대해 성립하고, 이면, 이다. (샌드위치 정리)
  • 단조이며 유계인 수열은 수렴한다. (단조 수렴 정리)

부분수열[편집]

주어진 수열 부분수열은, 강한증가함수 가 있어 와 같은 형식을 갖는 수열이다. 수열과 그 부분수열의 수렴성의 관계는 다음과 같다.

  • 수렴하는 수열의 모든 부분수열은 같은 값으로 수렴한다.
  • 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하면, 유계인 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 포함한다.

연산[편집]

두 수열 이 모두 수렴하고

일 때, 일반적으로 사칙연산과 극한을 행하는 순서는 교환 가능하다. 즉, 다음이 성립한다.

특별히 아래의 성질도 성립한다.

[편집]

  • 수열 0, 1, 0, 1, ...는 발산(진동)한다.
  • 수열 1, - 1/2, 1/3, - 1/4, ...는 수렴하며 0을 극한으로 한다.
  • 다음은 잘 알려진 수렴하는 수열의 예이다.
    • , c는 상수
  • 임의의 실수로 수렴하는 수열을 십진법에 의한 내림 근사를 이용하여 만들 수 있다. 예를 들어 수열 0.3, 0.33, 0.333, ...1/3로 수렴한다. 비슷하게 수열 1.4, 1.41, 1.414, ...2로 수렴한다. 이렇게 만든 수열은 모두 코시 수열이다.
  • 다음 수열의 극한은 직관적이지 않을 수 있다.
    • 수열 은 약 2.71828의 값을 가지는 상수 e로 수렴한다. 또 로 수렴한다.
    • 산술 기하 평균산술 평균기하 평균에 의한 점화 수열의 극한이다.
    • (오일러-마스케로니 상수)
  • 아래의 극한들은 어떤 면에서 무한대로 발산하는 수열의 규모를 나타낸다.

무한대로의 수렴[편집]

수열이 무한대로 수렴하는 것을(무한대로 발산한다고도 한다) 또는 로 표기하며 다음과 같이 정의한다. 임의의 실수 에 대해, 를 모든 에게 만족시키는 자연수 이 존재한다. 즉,

비슷하게 음의 무한대로 수렴(발산)하는 것을 또는 로 표기하며 다음과 같이 정의한다. 임의의 실수 에 대해, 를 모든 에게 만족시키는 자연수 이 존재한다. 즉,

그 예로 다음이 있다.

수렴성의 좁은 의미에서 무한대로의 수렴은 수렴이 아닌 발산이다. 발산과는 다른 개념인 것도 주의해야 한다. 두 수열

는 발산하지만 음이나 양의 무한대로 수렴하지 않는다.

거리 공간[편집]

정의[편집]

거리 함수 를 갖춘 거리 공간 에서 가 수열 의 극한이라고 함은, 임의의 실수 에 대해 이면 임을 만족하게 하는 자연수 이 존재하는 것을 말하고, 이것을

또는

로 나타낸다.

이를 형식화하면 다음과 같다.

이 정의에서 , 라 두면 실수열에 대한 정의와 일치한다.

성질[편집]

연속함수이고 이면, 이다. 나아가 가 연속함수일 필요충분조건은 가 임의의 수열의 극한을 보존한다는 것이다.

수열의 극한이 존재한다면 그는 유일하다. 이유는, 두 다른 점은 양수의 거리만큼 떨어져 있어서, 그 거리의 반 이하를 으로 취했을 때, 수열의 항이 최종적으로 동시에 두 점과 만큼 가까워질 수는 없기 때문이다.

위상 공간[편집]

정의[편집]

를 위상 공간 에서 정의된 수열(점렬, sequence of points) 의 극한이라고 함은 점 의 임의로 주어진 근방 (또는 점 을 포함하는 열린집합)에 대해 이면 임을 만족하게 하는 자연수 이 존재하는 것을 말하고, 이것을

또는

로 나타낸다.

수직선, 평면 등의 유클리드 공간거리 공간의 한 부분이며 또한 거리 공간위상 공간의 한 부분이다. 그러므로 위의 정의는 모두 위상 공간에서의 수렴의 정의로 설명할 수 있다.

성질[편집]

없음

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]