볼차노-바이어슈트라스 정리

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해석학일반위상수학에서, 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstraß定理, 영어: Bolzano–Weierstrass theorem)는 유클리드 공간에서 유계 닫힌집합점렬 콤팩트 공간의 개념이 일치한다는 정리이다.

특례[편집]

실수[편집]

실수 집합 에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 실수 유계 수열수렴 부분 수열을 갖는다.[1]

실수에 대한 증명[편집]

이는 단조 부분 수열 정리 및 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

단조 부분 수열 정리에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 증명은 다음과 같다.

실수 수열 에 대하여, 자연수의 성질 를 다음과 같이 도입하자.

즉, 번째 항이 뒤에 오는 모든 항보다 크다는 성질이다.

만약 를 만족하는 무한 개의 자연수

가 존재한다면, 은 단조 부분 수열이다.

만약 를 만족하는 자연수가 유한 개라면,

라고 하였을 때, 이므로,

이 존재한다. 마찬가지로,

가 존재한다. 즉, 은 단조 부분 수열이다.

실수 유계 수열 에 대하여, 위 정리에 따라, 단조 부분 수열 이 존재한다. 또한, 이는 동시에 유계 수열이므로, 단조 수렴 정리에 따라 수렴 수열이다. 즉, 실수 유계 수열은 항상 수렴 부분 수열을 갖는다.

유클리드 공간[편집]

유클리드 공간 에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 속 유계 수열 은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 유계 닫힌집합 점렬 콤팩트 공간이다.

더 나아가, 유클리드 공간의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 는 점렬 콤팩트 공간이다.
  • 는 유계 닫힌집합이다.

유클리드 공간에 대한 증명[편집]

유클리드 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수에 대한 정리로부터 유도할 수 있다.

(유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간) 유계 닫힌집합 속 수열

에 대하여, 은 유계 수열이므로, 실수에 대한 정리에 따라, 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 이 수렴하게 되는, 의 부분 수열 이 존재한다.

마찬가지로, 이 수렴하게 되는, 의 부분 수열 이 존재한다. 이때, 역시 수렴한다.

이와 같이 반복하면, 임의의 에 대하여 이 수렴하게 되는, 의 부분 수열 을 얻으며, 이는 물론 수렴 부분 수열이며, 가 닫힌집합이므로, 극한은 의 원소이다.

(점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 닫힌집합) 점렬 콤팩트 집합 이 유계가 아니라면,

이도록 정의된 수열이 존재하며, 이는 수렴 부분 수열을 갖지 않으므로, 모순이 된다.

또한, 속의, 에서 수렴하는 수열에 대하여, 에서 수렴하는 부분 수열이 존재하며, 그 극한이 원래 수열의 것과 같으므로, 원래 수열도 에서 수렴한다. 즉, 는 닫힌집합이다.

거리 공간에서의 실패[편집]

거리 공간에서, 점렬 콤팩트 공간은 항상 유계 닫힌집합이나, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수 집합 이산 거리 함수를 주었을 때, 유계 집합이며 닫힌집합이지만, 그 속의 수열 은 수렴 부분 수열을 갖지 못한다.

역사[편집]

보헤미아베르나르트 볼차노독일카를 바이어슈트라스가 증명하였다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 102쪽.

참고 문헌[편집]

  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.
  • Rudin, Walter (1976). 《Principles of Mathematical Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. 

바깥 고리[편집]