단조 수렴 정리

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실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 영어: monotone convergence theorem)는 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다. 실수의 경우, 실수 유계 증가수열은 그 상한으로 수렴하며, 실수 유계 감소수열은 그 하한으로 수렴한다. 급수의 경우, 수렴 급수의 증가 열에 대하여, 급수의 합의 극한은 급수의 점별 극한의 합과 같다. 르베그 적분의 경우, 음이 아닌 값의 가측 함수의 증가 열에 대하여, 함수의 적분의 극한은 함수의 점별 극한의 적분과 같다.

정의[편집]

실수열의 경우[편집]

실수 단조 수열 에 대하여, 다음이 성립한다.

이에 따라, 실수 단조 수열 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 수렴한다.
  • 유계 수열이다.

급수열의 경우[편집]

실수 무한 행렬 의 각 행을 급수라 여기자. 또한, 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  • (양항 급수열) 임의의 에 대하여,
  • (수렴급수열) 임의의 에 대하여
  • (점별 증가 유계) 임의의 에 대하여, 증가 유계 수열이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.[1]

즉, 급수를 취한 뒤 극한을 취하거나, 극한을 취한 뒤 급수를 취할 수 있으며, 이 두 연산은 교환 가능하다.

함수열의 경우[편집]

가측 함수열에 대한 단조 수렴 정리는 앞선 정리의 일반화이며, 가장 중요한 단조 수렴 정리이다. 앙리 르베그의 단조 수렴 정리라고 부르거나, 베포 레비의 정리라고 부른다.[2]

측도 공간 및 음이 아닌 값의 가측 함수의 증가 열 이 주어졌다고 하자. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • (양항 함수열) 임의의 에 대하여,
  • (가측 함수열) 임의의 에 대하여, 은 가측 함수이다.
  • (점별 증가) 임의의 에 대하여, 는 증가수열이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

즉, 적분을 취한 뒤 점별 극한을 취하거나, 점별 극한을 취한 뒤 적분을 취할 수 있으며, 이 두 연산은 서로 교환 가능하다.

증명[편집]

실수열의 경우[편집]

이 증가 위로 유계 수열이라고 하자. 그렇다면 이는 집합으로서 공집합이 아닌 위로 유계 집합이므로, 상한 공리에 따라 상한

이 존재한다. 상한의 정의에 따라 임의의 에 대하여,

이 존재한다. 증가수열이므로, 임의의 에 대하여,

이다. 즉,

이제, 이 증가 위로 무계 수열이라고 하자. 그렇다면 우선

이다. 위로 무계 수열이므로, 임의의 에 대하여,

이 존재한다. 증가수열이므로, 임의의 에 대하여,

이다. 즉,

비슷하게 감소수열에 대한 명제를 증명할 수 있다.

함수열의 경우[편집]

의 가측성의 증명: 항등식 에 의하여 성립한다.

≤의 증명: 임의의 에 대하여, 이므로,

이다. 여기에 를 취하면 원하는 부등식을 얻는다.

≥의 증명: 임의의 에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

그렇다면, 이는

를 만족시키는 가측 집합의 열이며, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

여기에 를 취하면

를 얻으며, 다시 를 취하면

를 얻는다. 르베그 적분의 정의

에 의하여

를 얻는다.

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실수열의 극한

의 극한을 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수열 의 극한이다.

이 수열은 다음과 같은 귀납에 따라 증가수열이다.

또한 다음과 같은 귀납에 따라 위로 유계이다.

단조 수렴 정리에 따라, 은 수렴한다. 이제

라고 하고, 식

양변에 극한을 취할 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

또한 이므로, 극한은 이 이차 방정식의 양의 근인 2와 같다.

일반화 단조 유계 수열의 수렴성[편집]

단조 수렴 정리를 사용하여 다음과 같은 일반화된 정리를 증명할 수 있다.[3] 실수열 에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 이 존재한다고 하자.

  • 연속 함수이다.
  • 임의의 에 대하여, 만약 이라면 이다.
  • 임의의 에 대하여,
  • 임의의 에 대하여,

그렇다면,

이다. 또한, 이 수열이 수렴할 필요충분조건은 유계 수열인 것이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. J Yeh (2006). 《Real analysis. Theory of measure and integration》. 168쪽. 
  2. 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 30쪽
  3. Bibby, John. “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences”. 《Glasgow Mathematical Journal》 (영어) 15: 63-65. 

외부 링크[편집]