샌드위치 정리

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미적분학
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샌드위치 정리, 또는 압착 정리, 스퀴즈 정리, 조임 정리(-定理, 壓搾定理, -定理, -定理, 영어: sandwich theorem, pinching theorem, squeeze theorem)는 함수의 극한에 관한 정리이다. 미적분학해석학에서 널리 쓰인다. 이 정리에 따르면, 두 함수가 어떤 점에서 같은 극한을 갖고, 어떤 함수가 두 함수 사이에서 값을 가지면, 그 함수도 똑같은 값의 극한을 가진다.

역사[편집]

샌드위치 정리를 최초로 사용한 수학자는 아르키메데스에우독소스로, 이들은 원주율을 기하학적으로 구하는 데에 이 방법을 사용했다.

샌드위치 정리의 현대적 증명은 카를 프리드리히 가우스에 의해 이루어졌다.

내용[편집]

수열[편집]

수열 \{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}에 대하여, 충분히 큰 모든 자연수  n 에 대해  a_n \leq c_n \leq b_n이고 \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = L 이면, \lim_{n \to \infty} c_n = L 이다.

함수[편집]

함수 f,g,h에 대하여, a에 충분히 가까운 모든 x에 대해 f(x) \leq h(x) \leq g(x)이고 \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L 이면, \lim_{x \to a} h(x) = L이다.

증명[편집]

아래는 함수에 관한 명제의 증명이다. 수열에 관한 명제도 이와 비슷하게 증명 가능하다.[1]

모든 양의 실수 \epsilon에 대하여

0<|x-a|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon\Rightarrow L-\epsilon<f(x)
0<|x-a|<\delta_2\Rightarrow|g(x)-L|<\epsilon\Rightarrow g(x)<L+\epsilon

를 만족하는 양의 실수 \delta_1,~\delta_2가 존재한다.

또한 전제조건에 의해

0<|x-a|<\delta_0\Rightarrow f(x)\le h(x)\le g(x)

를 만족하는 양의 실수 \delta_0이 존재한다.

\delta\min(\delta_0,\delta_1,\delta_2)로 잡으면,

\begin{array}{rcl}
0<|x-a|<\delta & \Rightarrow & 0<|x-a|<\delta_i,\ i=0,1,2 \\
& \Rightarrow & L-\epsilon<f(x)\le h(x)\le g(x)<L+\epsilon \\
& \Rightarrow & |h(x)-L|<\epsilon
\end{array}

이다.

정리하면 모든 양의 실수 \epsilon에 대하여 0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| h(x)-\alpha\right| <\epsilon를 만족하는 양의 실수 \delta가 존재한다. 그러므로 극한의 정의에 의하여 \lim_{x\to a}h(x)=\alpha이다.

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샌드위치 정리의 예

예 1[편집]

극한

\lim_{x\to 0}x^2\sin\frac1x

은 샌드위치 정리에 의해 0을 값으로 한다. 이는 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2

더 나아가, 임의의 무한소(즉 0을 극한으로 하는 함수)와 유계 함수의 곱은 여전히 무한소이다.

예 2[편집]

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

이는 임의의 x\in(-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2})에 대해 다음 부등식이 성립하기 때문이다.

\cos x<\frac{\sin x}{x}<1

예 3[편집]

\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n})=\frac12

이는 다음과 같은 분석을 통해 얻어진다.

\begin{array}{cl}
  & \frac12 \\
= & \frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\frac{3}{n^2+n}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\
< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+\cdots+\frac{n}{n^2+n} \\
< & \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\frac{3}{n^2+1}+\cdots+\frac{n}{n^2+1} \\
= & \frac{n^2+n}{2n^2+2}
\end{array}

양끝의 수열이 모두 \frac12로 수렴하므로 사이에 끼인 수열도 같은 값으로 수렴한다.

참고 문헌[편집]

  1. Stewart, James (2009). 《Calculus(Metric International Version, 6th Edition)》 (영어). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 0-495-38362-7. 

바깥 고리[편집]