열린 집합

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원판의 내부, 즉 을 만족하는 점들이 이루는 집합은 열린 집합이다.

위상수학에서, 열린 집합(표준어: 열린집합, 영어: open set)은 직관적으로 말해서 U에 속하는 임의의 점 x가 어떤 방향으로든 작게 움직여도 U에 속하는 집합 를 뜻한다.

예를 들어 0 < x < 1을 만족하는 모든 실수 x로 이루어진 구간 (0,1)은 열린 집합이다. 반면 0 < x ≤ 1을 만족하는 구간 (0,1]은 이 집합의 원소 x = 1을 양의 방향으로 움직인다고 했을 때 아무리 작게 움직여도 이 집합을 벗어나기 때문에 열린 집합이 아니다.

정의[편집]

위상 공간[편집]

U의 모든 점이 내부점이면 U는 열린 집합이다.

유클리드 공간[편집]

를 정의하자. 만약 의 모든 점 에 대하여 의 부분집합이 되는 어떤 이 존재한다면 그 열린 집합이라고 한다. 여기서 는 반지름 , 중심이 열린 공으로 을 만족하는 모든 점 라고 정의한다. 즉, 의 원소 로부터의 거리가 미만인 모든 의 집합을 의미한다.[1]

가 있을 때 라면 열린 집합이다.

관련 정리[편집]

  1. 일때 모든 에 대해 열린 집합이다.
(증명) 를 잡자. 그 때 의 원소 는 다음과 같은 성질을 만족한다.
이므로 이고 따라서 열린 집합이다.

참고 서적[편집]

  1. Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.