열린 집합

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원판의 내부, 즉 r<\sqrt{x^2+y^2}을 만족하는 점들이 이루는 집합은 열린 집합이다.

위상수학과 이에 관련된 수학 분야에서, 집합 U가 열려 있다는 것은 직관적으로 말해서 U에 속하는 임의의 점 x가 어떤 방향으로든 작게 움직여도 U에 속한다는 것을 뜻한다.

예를 들어 0 < x < 1을 만족하는 모든 실수 x로 이루어진 구간 (0,1)은 열린 집합이다. 반면 0 < x ≤ 1을 만족하는 구간 (0,1]은 이 집합의 원소 x = 1을 양의 방향으로 움직인다고 했을 때 아무리 작게 움직여도 이 집합을 벗어나기 때문에 열린 집합이 아니다.

정의[편집]

위상공간[편집]

U의 모든 점이 내부점이면 U는 열린 집합이다.

유클리드 공간[편집]

U\sub\mathbb{R}^n를 정의하자. 만약 U의 모든 점 \mathbf{x}_0에 대하여 D_r(\mathbf{x}_0)U의 부분집합이 되는 어떤 r>0이 존재한다면 그 U열린 집합이라고 한다. 여기서 D_r(\mathbf{x}_0)는 반지름 r, 중심이 \mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n열린 공으로 \|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <r을 만족하는 모든 점 \mathbf{x}라고 정의한다. 즉, \mathbb{R}^n의 원소 \mathbf{x}\mathbf{x}_0로부터의 거리가 r미만인 모든 \mathbf{x}의 집합을 의미한다.[1]

U\sub\mathbf{R}^n가 있을 때 \forall\mathbf{x}\in U\ \exist r>0\ s.t.\ D_r(\mathbf{x})\sub U라면 U열린 집합이다.

관련 정리[편집]

  1. r>0일때 모든 \mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n에 대해 D_r(\mathbf{x}_0)열린 집합이다.
(증명) s=r-\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| >0s를 잡자. 그 때 D_s(\mathbf{x})의 원소 \mathbf{y}는 다음과 같은 성질을 만족한다.
\|\mathbf{y}-\mathbf{x}_0\|=\| (\mathbf{y}-\mathbf{x})+(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)\|\le\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\| +\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <s+\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| =r
\|\mathbf{y}-\mathbf{x}_0\| <r이므로 D_s(\mathbf{x})\sub D_r(\mathbf{x}_0)이고 따라서 D_r(\mathbf{x}_0)열린 집합이다.

참고 서적[편집]

  1. Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0