T1 공간

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

위상 공간분리공리
T0콜모고로프 공간
T1 
T2하우스도르프 공간
T우리손 공간
완전 T완비 하우스도르프 공간
T3정칙 하우스도르프 공간
T티호노프 공간
T4정규 하우스도르프 공간
T5완비 정규 하우스도르프 공간
T6완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서 T1 공간(T1空間, 영어: T1 space)은 주어진 두 점에 대하여, 첫째를 포함하며 둘째를 포함하지 않는 열린집합이 존재하는 위상 공간이다. 이는 콜모고로프 공간보다 강하지만, 하우스도르프 공간보다 약한 개념이다. 간혹 프레셰 공간(Fréchet space)이라고도 하는데, 이 용어는 함수해석학에서 다루는, 무관한 개념인 프레셰 공간과 혼동될 수 있다.

정의[편집]

위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 R0 공간이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 열린집합 가 존재한다면, 열린집합 가 존재한다.
  • 임의의 열린집합 에 대하여, 닫힌집합들의 집합 이 존재한다.

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 T1 공간이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 라면, 열린집합 가 존재한다.
  • 콜모고로프 공간이며 R0 공간이다.
  • 임의의 에 대하여, 닫힌집합이다.
  • 임의의 유한 집합 닫힌집합이다.
  • 임의의 부분 집합 에 대하여, 를 포함하는 모든 열린집합들의 교집합와 같다.

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 TD 공간이라고 한다.

  • 임의의 부분 집합 유도 집합닫힌집합이다.
  • 임의의 에 대하여, 유도 집합닫힌집합이다.
  • 임의의 에 대하여, 열린집합 닫힌집합 가 존재한다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 … 닫힌집합이어야 한다 열린집합이어야 한다 닫힌집합일 수 없다 열린집합일 수 없다 열린집합닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류 T1 공간 이산 공간 (특별한 이름이 없음) 자기 조밀 공간 TD 공간

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

하우스도르프 공간(T2) ⊊ T1 공간 = (R0 공간 ∩ 콜모고로프 공간(T0)) ⊊ TD 공간 ⊊ 콜모고로프 공간(T0)

차분한 공간과의 관계[편집]

차분한 공간과 T1 공간은 서로를 함의하지 않는다.

차분한 TD 공간의 부분 집합차분한 공간이다. 그러나 이는 일반적인 차분한 공간에 대해서는 성립하지 않는다.

[편집]

모든 알렉산드로프 공간은 TD 공간이다.[1]:35, Theorem 5.2 특히, 모든 유한 콜모고로프 공간은 TD 공간이다.

참고 문헌[편집]

  1. Aull, C. E.; Thron, W. J. (1962). “Separation axioms between T0 and T1”. 《Indagationes Mathematicae》 (영어) 24: 26–37. ISSN 0019-3577. 

외부 링크[편집]