자기 조밀 공간

일반위상수학에서 자기 조밀 공간(自己稠密空間, 영어: dense-in-itself space)은 고립점을 갖지 않는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 자기 조밀 공간 또는 완전 공간(完全空間, 영어: perfect space)이라고 한다.

$X$ 는 고립점을 갖지 않는다. 즉, 모든 한원소 집합 $\{x\}\subseteq X$ 은 열린집합이 아니다.
모든 점이 스스로의 극한점이다.^[1]^{:31, §6.A} 즉, $X=\operatorname {acc\,pt} _{2}(X)$ 이다. (여기서 $\operatorname {acc\,pt} _{2}(X)$ 는 $X$ 의 극한점들의 집합이다.)

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 …	닫힌집합이어야 한다	열린집합이어야 한다	닫힌집합일 수 없다	열린집합일 수 없다	열린집합과 닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류	T₁ 공간	이산 공간	(특별한 이름이 없음)	자기 조밀 공간	T_D 공간

완전 집합

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 완전 집합(完全集合, 영어: perfect set)이라고 한다.

$Y=\operatorname {acc\,pt} _{2}(Y)$ 이다. (여기서 $\operatorname {acc\,pt} _{2}(Y)$ 는 $Y$ 의 극한점들의 집합이다.)
$Y$ 는 $X$ 의 닫힌집합이며, $Y$ 는 (독립적인 위상 공간으로 여겼을 때) 자기 조밀 공간이다.^[1]^{:31, §6.A}

완전 집합 성질

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 가 다음 두 조건 가운데 하나 이상을 만족시킨다면, 완전 집합 성질(完全集合性質, 영어: perfect-set property)을 만족시킨다고 한다.^[1]^:150

가산 집합이다.
$C\subseteq Y$ 인 $X$ -완전 집합 $C\subseteq X$ 가 존재한다.

성질

칸토어-벤딕손 정리

$\kappa$ 가 무한 정칙 기수라고 하고, 크기 $\kappa$ 미만의 기저를 갖는 위상 공간 $X$ 가 주어졌다고 하자. 칸토어-벤딕손 정리(Cantor-Bendixson定理, 영어: Cantor–Bendixson theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]^{:32, Theorem 6.4}

$X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$ 는 $X$ 의, 크기 $\kappa$ 미만의 열린집합이다.

증명:

X

의 크기

\kappa

미만의 기저를

{\mathcal {B}}

라고 하자. 정의에 따라

\textstyle X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)=\bigcup \{U\in {\mathcal {B}}\colon |U|<\kappa \}

이며, 정칙 기수의 정의에 따라 우변은 크기

\kappa

미만의 열린집합이다.

$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$ 는 $X$ 의 완전 집합이다.

증명:

다음 두 명제를 보이면 족하다.

$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{2}(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))$ $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{2}(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))$
- 증명: 임의의 $x\in \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$ 및 그 근방 $U\ni x$ 에 대하여, $|U|\geq \kappa$ 이지만 $|X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)|<\kappa$ 이므로 $|U\cap \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)|\geq \kappa$ 이다.
$\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)\supseteq \operatorname {acc\,pt} _{2}(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))$ $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)\supseteq \operatorname {acc\,pt} _{2}(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))$
- 증명: 이는 $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$ 가 닫힌집합이라는 것과 동치인데, $X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$ 가 열린집합임을 이미 증명하였다.

특히, $\kappa =\aleph _{1}$ 로 놓자. 그렇다면, 제2 가산 공간 $X$ 의 경우,

$X$ 의 $\aleph _{1}$ -집적점이 아닌 점들의 집합은 $X$ 의 가산 열린집합이다.
$X$ 의 $\aleph _{1}$ -집적점들의 집합은 $X$ 의 완전 집합이다.

특히, 폴란드 공간의 닫힌집합은 완전 집합 성질을 갖는다. 특히, 모든 폴란드 공간은 고립점을 갖지 않는 닫힌집합과, 이와 서로소인 가산 열린집합으로 분해할 수 있다.

집합의 크기

폴란드 공간의 모든 완전 집합의 크기는 0이거나 $2^{\aleph _{0}}$ 이다. 따라서, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합의 크기는 $\aleph _{0}$ 이하이거나 $2^{\aleph _{0}}$ 이다. 즉, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합은 연속체 가설의 반례가 될 수 없다.

예

연결 T₁ 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

자기 조밀 공간이다.
한원소 공간이 아니다.

증명:

한원소 공간이 자기 조밀 공간이 아니라는 것은 자명하다. 반대로,

X

가 연결 T₁ 공간이라고 하고,

x\in X

가 고립점이라고 하자. (공집합은 정의에 따라 연결 공간이 아니다.) 즉,

\{x\}

가 열린집합이라고 하자. T₁ 공간 조건에 의하여 사실

\{x\}

는 열린닫힌집합이다. 그런데 연결 공간에서 열린닫힌집합은

X

전체 또는

\varnothing

밖에 없다. 따라서,

X=\{x\}

이다.

실수선은 자기 조밀 공간이다. 칸토어 집합은 자기 조밀 완전 분리 공간이다.

무리수의 위상 공간 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R}$ 는 자기 조밀 공간이지만, 이는 $\mathbb {R}$ 의 닫힌집합이 아니므로 $\mathbb {R}$ 의 완전 집합이 아니다.

시에르핀스키 공간 $\{\circ ,\bullet \}$ 에서, $\{\bullet \}$ 이 닫힌집합이라고 할 때, $\circ \in \{\circ ,\bullet \}$ 는 고립점이다. 즉, 시에르핀스키 공간은 자기 조밀 공간이 아니다. 이는 시에르핀스키 공간은 연결 공간이며 한원소 공간이 아니지만, T₁ 공간도 아니기 때문에 가능하다. 시에르핀스키 공간의 부분 집합 가운데, 특별한 성질을 갖는 것은 다음과 같다.

시에르핀스키 공간의 자기 조밀 집합은 $\{\circ \}$ , $\{\bullet \}$ , $\varnothing$ 세 개이다.
시에르핀스키 공간의 완전 집합은 $\{\bullet \}$ 과 $\varnothing$ 두 개이다.
시에르핀스키 공간의 모든 부분 집합은 완전 집합 성질을 만족시킨다. (이는 시에르핀스키 공간이 가산 집합이기 때문이다.)

역사

칸토어-벤딕손 정리는 게오르크 칸토어와 이바르 오토 벤딕손이 증명하였다.

같이 보기

각주

1 2 3 4 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.

외부 링크

“Perfect set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Definition: dense-in-itself”.
“Definition: perfect set”.
Ma, Dan (2010년 5월 27일). “Perfect sets and Cantor sets, I” (영어). 《Dan Ma’s Topology Blog》.
Ma, Dan (2010년 5월 30일). “Perfect sets and Cantor sets, II” (영어). 《Dan Ma’s Topology Blog》.

[Kechris-1] 1 2 3 4 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.

[1]