일반위상수학에서 자기 조밀 공간(自己稠密空間, 영어: dense-in-itself space)은 고립점을 갖지 않는 위상 공간이다.
위상 공간
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 자기 조밀 공간 또는 완전 공간(完全空間, 영어: perfect space)이라고 한다.
는 고립점을 갖지 않는다. 즉, 모든 한원소 집합
은 열린집합이 아니다.
- 모든 점이 스스로의 극한점이다.[1]:31, §6.A 즉,
이다. (여기서
는
의 극한점들의 집합이다.)
이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.
위상 공간
의 부분 집합
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 완전 집합(完全集合, 영어: perfect set)이라고 한다.
이다. (여기서
는
의 극한점들의 집합이다.)
는
의 닫힌집합이며,
는 (독립적인 위상 공간으로 여겼을 때) 자기 조밀 공간이다.[1]:31, §6.A
위상 공간
의 부분 집합
가 다음 두 조건 가운데 하나 이상을 만족시킨다면, 완전 집합 성질(完全集合性質, 영어: perfect-set property)을 만족시킨다고 한다.[1]:150
- 가산 집합이다.
인
-완전 집합
가 존재한다.
가 무한 정칙 기수라고 하고, 크기
미만의 기저를 갖는 위상 공간
가 주어졌다고 하자. 칸토어-벤딕손 정리(Cantor-Bendixson定理, 영어: Cantor–Bendixson theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:32, Theorem 6.4
는
의, 크기
미만의 열린집합이다.
증명:
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
의 크기
![{\displaystyle \kappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d)
미만의
기저를
![{\displaystyle {\mathcal {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13)
라고 하자. 정의에 따라
![{\displaystyle \textstyle X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)=\bigcup \{U\in {\mathcal {B}}\colon |U|<\kappa \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fea308f2327a46caced7c8e368676e6e200dd8)
이며,
정칙 기수의 정의에 따라 우변은 크기
![{\displaystyle \kappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d)
미만의
열린집합이다.
는
의 완전 집합이다.
증명:
다음 두 명제를 보이면 족하다.
- 증명: 임의의
및 그 근방
에 대하여,
이지만
이므로
이다.
- 증명: 이는
가 닫힌집합이라는 것과 동치인데,
가 열린집합임을 이미 증명하였다.
특히,
로 놓자. 그렇다면, 제2 가산 공간
의 경우,
의
-집적점이 아닌 점들의 집합은
의 가산 열린집합이다.
의
-집적점들의 집합은
의 완전 집합이다.
특히, 폴란드 공간의 닫힌집합은 완전 집합 성질을 갖는다. 특히, 모든 폴란드 공간은 고립점을 갖지 않는 닫힌집합과, 이와 서로소인 가산 열린집합으로 분해할 수 있다.
폴란드 공간의 모든 완전 집합의 크기는 0이거나
이다. 따라서, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합의 크기는
이하이거나
이다. 즉, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합은 연속체 가설의 반례가 될 수 없다.
연결 T1 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
증명:
한원소 공간이 자기 조밀 공간이 아니라는 것은 자명하다. 반대로,
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
가 연결
T1 공간이라고 하고,
![{\displaystyle x\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
가
고립점이라고 하자. (
공집합은 정의에 따라
연결 공간이 아니다.) 즉,
![{\displaystyle \{x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a120eeb8a091b516595765bd08b306f2394e7721)
가
열린집합이라고 하자.
T1 공간 조건에 의하여 사실
![{\displaystyle \{x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a120eeb8a091b516595765bd08b306f2394e7721)
는
열린닫힌집합이다. 그런데
연결 공간에서
열린닫힌집합은
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
전체 또는
![{\displaystyle \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74)
밖에 없다. 따라서,
![{\displaystyle X=\{x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ffbe62e42c1d3bc2d36c3bce417d770aee8a36)
이다.
실수선은 자기 조밀 공간이다. 칸토어 집합은 자기 조밀 완전 분리 공간이다.
무리수의 위상 공간
는 자기 조밀 공간이지만, 이는
의 닫힌집합이 아니므로
의 완전 집합이 아니다.
시에르핀스키 공간
에서,
이 닫힌집합이라고 할 때,
는 고립점이다. 즉, 시에르핀스키 공간은 자기 조밀 공간이 아니다. 이는 시에르핀스키 공간은 연결 공간이며 한원소 공간이 아니지만, T1 공간도 아니기 때문에 가능하다. 시에르핀스키 공간의 부분 집합 가운데, 특별한 성질을 갖는 것은 다음과 같다.
- 시에르핀스키 공간의 자기 조밀 집합은
,
,
세 개이다.
- 시에르핀스키 공간의 완전 집합은
과
두 개이다.
- 시에르핀스키 공간의 모든 부분 집합은 완전 집합 성질을 만족시킨다. (이는 시에르핀스키 공간이 가산 집합이기 때문이다.)
칸토어-벤딕손 정리는 게오르크 칸토어와 이바르 오토 벤딕손이 증명하였다.