제2 가산 공간

일반위상수학에서 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$의 무게(영어: weight) $\operatorname {wt} (X)$는 $X$의 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서는 정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다.

• $\operatorname {wt} (X)\leq \aleph _{0}$
• $X$는 가산 기저를 갖는다.
• $X$ 위의 임의의 기저 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, ${\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {B}}$이며 기저를 이루는 가산 집합 ${\mathcal {B}}'$이 존재한다.

성질

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 제1 가산 공간이다.
• 분해 가능 공간이다.
• 린델뢰프 공간이다.

증명:

$X$가 제2 가산 공간이며, ${\mathcal {B}}$가 $X$ 위의 가산 기저라고 하자.

$X$는 제1 가산 공간. 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}$는 $x$ 위의 가산 국소 기저를 이룬다.

$X$는 분해 가능 공간. 임의의 $B\in {\mathcal {B}}$에서 한 점 $x_{B}\in B$를 골랐을 때, $\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}$는 $X$의 가산 조밀 집합이다.

$X$는 린델뢰프 공간. $X$의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$가 주어졌다고 하자. 이제,

${\mathcal {S}}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon \exists U\in {\mathcal {U}}\colon B\subseteq U\}$

라고 하고, 임의의 $B\in {\mathcal {S}}$에 대하여

$B\subseteq U_{B}$

인 $U_{B}\in {\mathcal {U}}$를 고르자. 이제, $\{U_{B}\colon B\in {\mathcal {S}}\}$가 $X$의 덮개임을 보이면 족하다. 임의의 $x\in X$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {U}}$가 덮개이므로,

$x\in U$

인 $U\in {\mathcal {U}}$가 존재하며,

$x\in B\subseteq U$

인 기저의 원소 $B\in {\mathcal {B}}$가 존재한다. 따라서 사실 $B\in {\mathcal {S}}$이며, 결국

$x\in U_{B}$

이다.

거리화 가능 공간 $M$에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

• $M$은 제2 가산 공간이다.
• $M$은 분해 가능 공간이다.
• $M$은 린델뢰프 공간이다.

우리손 거리화 정리에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간은 유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 거리화 가능 공간이다.

연산에 대한 닫힘

부분 공간

임의의 위상 공간 $X$ 위의 기저 ${\mathcal {B}}$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $\{B\cap Y\colon B\in {\mathcal {B}}\}$는 $Y$ 위의 기저를 이룬다. 따라서

$\operatorname {wt} (Y)\leq \operatorname {wt} (X)$

이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

몫공간

제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 $X$ 및 열린집합 $U$에 대하여, 동치 관계

$x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y$

를 주었을 때, 몫공간 $X/\sim =X/U$은 역시 제2 가산 공간이다.

곱공간

임의의 곱공간

$X=\prod _{i\in I}X_{i}$

및 각 $X_{i}$ 위의 기저 ${\mathcal {B}}_{i}\subseteq {\mathcal {P}}(X_{i})$에 대하여,

$\left\{\prod _{i\in I}B_{i}\colon B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i},\;\{i\in I\colon B_{i}\neq X_{i}\}<\aleph _{0}\right\}$

는 $X$ 위의 기저를 이룬다. 따라서

$\operatorname {wt} (X)\leq \sum _{J\subseteq I}^{J<\aleph _{0}}\prod _{i\in J}\operatorname {wt} (X_{i})\leq \max \left(\{\operatorname {wt} (X_{i})\colon i\in I\}\cup \{|I|,\aleph _{0}\}\right)$

이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 $\kappa$에 대하여 $\kappa$개 이하의, 무게가 $\kappa$ 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 $\kappa$ 이하이다.

분리합집합

위상 공간들의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$의 분리합집합

$X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}$

의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.

$\operatorname {wt} (X)=\sum _{i\in I}\operatorname {wt} (X_{i})$

따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

크기 관련 성질

제2 가산 공간의 열린집합의 수는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.

증명:

제2 가산 공간 $X$ 위의 임의의 기저 ${\mathcal {B}}$에 대하여, ${\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {B}}$인 가산 기저 ${\mathcal {B}}'$을 찾으면 족하다. 제2 가산성에 의하여, $X$ 위에는 가산 기저 ${\mathcal {D}}$가 존재한다. ${\mathcal {B}}$가 기저이므로, 임의의 $D\in {\mathcal {D}}$에 대하여,

$D=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}_{D}}B$

인 ${\mathcal {B}}_{D}\subset {\mathcal {B}}$가 존재한다. $D$는 $X$의 부분 집합이므로 제2 가산 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 따라서,

$D=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}_{D}'}B$

인 가산 집합 ${\mathcal {B}}_{D}'\subset {\mathcal {B}}_{D}$가 존재한다. 이제,

${\mathcal {B}}'=\bigcup _{D\in {\mathcal {D}}}{\mathcal {B}}_{D}'\subset {\mathcal {B}}$

는 $X$ 위의 기저임을 쉽게 알 수 있다. 또한, ${\mathcal {D}}$와 모든 ${\mathcal {B}}_{D}'$가 가산 집합이므로 ${\mathcal {B}}'$는 가산 집합이다.

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$
• 힐베르트 차원이 $\aleph _{0}$ 이하인 힐베르트 공간
• 가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체 (다양체 = 파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)

이산 공간

이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 $X$의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

$\operatorname {wt} (X)=|X|$

특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.

비이산 공간

비이산 공간 $X$의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) $\{X\}$이다. 따라서, 비이산 공간 $X$의 밀도는 다음과 같다.

$\operatorname {wt} (X)=\min\{1,|X|\}$

특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

제2 가산 공간이 아닌 제1 가산 공간

긴 직선은 T₄ 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

제1 가산 공간이 아닌, 제2 가산 공간의 몫공간

위상 공간

$X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \cdots$

의 몫공간

$X'={\frac {X}{\{0,2,4,\dots \}}}$

을 생각하자. $X$는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 $X'$은 $\{0,2,4,\dots \}$에서 국소 지표

$\chi (X',\{0,2,4,\dots \})=2^{\aleph _{0}}$

를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Second axiom of countability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Second countable topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Second-countable space”. 《nLab》 (영어). 
• “Second-countable space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Definition: second-countable space”. 《ProofWiki》 (영어).