정칙 공간

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서 정칙 공간(正則空間, 영어: regular space)은 서로소인 점과 닫힌집합을 각각을 포함하는 서로소 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간이다.

정의

정칙 공간의 정의

위상 공간 $X$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 정칙 공간이라고 한다.

• (점과 닫힌집합의 분리) 임의의 닫힌집합 $F\subseteq X$와 점 $x\in X\setminus F$에 대하여, $x\in U\subseteq X\setminus V\subseteq X\setminus F$가 되게 하는 열린집합 $U,V\subseteq X$가 존재한다.^{:195, §31}
• 임의의 점 $x\in X$에 대하여, $x$를 포함하는 정칙 닫힌집합(즉, $x$의 열린 근방의 폐포)들은 $x$의 국소 기저를 이룬다.

성질

함의 관계

정칙 하우스도르프 공간은 우리손 공간이다. 완비 정칙 공간은 정칙 공간이다.

정칙 하우스도르프 공간과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 함의 관계가 존재하지 않는다.

하우스도르프 조건과의 관계

정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콜모고로프 공간이다.
• 하우스도르프 공간이다.

정칙 하우스도르프 공간을 T₃ 공간(영어: T₃ space)이라고 부르기도 한다.

연산에 대한 닫힘

정칙 공간의 부분 집합은 항상 정칙 공간이다. (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 곱공간은 정칙 공간이다. 또한, (유한 또는 무한 개의) 정칙 공간들의 상자곱은 정칙 공간이다.

크기

정칙 하우스도르프 공간은 비가산 집합이거나 아니면 완전 분리 공간이다.

증명:

$X$가 가산 정칙 공간이라고 하자. 그렇다면, 가산 위상 공간은 (자명하게) 린델뢰프 공간이며, 정칙 린델뢰프 공간은 정규 공간이므로, $X$는 정규 공간이며, 특히 완비 하우스도르프 공간이다.

공집합은 정의에 따라 연결 공간이 아니다. 만약 $X$의 크기가 2 이상이라면 서로 다른 두 점 $x,y\in X$를 고를 수 있으며, 완비 하우스도르프 공간의 조건에 의하여 $f(x)=0$, $f(y)=1$인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$을 찾을 수 있다. $X$가 가산 집합이므로 $r\in [0,1]\setminus f(X)$를 고를 수 있다. 그렇다면 $X=f^{-1}([0,r))\cup f^{-1}((r,1])$이므로, $X$는 두 서로소 열린집합으로 분해되며, 따라서 연결 공간이 아니다.

보다 일반적으로, $X$의 모든 부분 공간은 가산 정칙 공간이며, 따라서 한원소 집합이 아니라면 연결 공간이 될 수 없다. 따라서 $X$의 연결 성분들은 모두 한원소 집합이며, $X$는 완전 분리 공간이다.

정칙 열린집합

정칙 공간의 정칙 열린집합들의 족은 기저를 이룬다. 그러나 그 역은 성립하지 않을 수 있다 (즉, 정칙 열린집합들이 기저를 이루지만 정칙 공간이 아닌 위상 공간이 존재한다).

예

정칙 공간이 아닌 하우스도르프 공간의 예는 다음을 들 수 있다. 실수의 집합 $\mathbb {R}$에, 다음과 같은 집합들을 기저로 하는 위상을 정의하자.

$\{U\setminus C\colon |C|<\aleph _{0},U\in {\mathcal {T}}(\mathbb {R} )\}$

여기서 ${\mathcal {T}}(\mathbb {R} )$는 실수의 표준적인 위상에서의 열린 집합들의 모임이다. 그렇다면, 이 비표준 위상을 준 실수 집합은 하우스도르프 공간이지만 정칙 공간이 아니다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Regular space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Regular space”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Regular Hausdorff space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Semiregular space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Regular open subset”. 《Topospaces》 (영어).