덮개 (위상수학)

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어떤 집합에 대해 그 집합의 덮개(cover)는 집합들의 모임으로, 집합들을 합집합하면 원래 집합을 부분집합으로 갖는 경우를 가리킨다. 수식으로 표기하면, 집합 X과 집합족 \mathcal{C} = \{U_\alpha: \alpha \in A\}에 대하여

X \subseteq \bigcup_\alpha U_\alpha

가 성립할 경우, \mathcal{C}X의 덮개라고 정의한다.[1]

덮개의 부분집합이 역시 덮개인 경우는 부분덮개라고 부른다. 덮개를 구성하는 원소의 갯수가 유한한 경우는 유한덮개로 부른다.

만약 덮개에 속하는 모든 집합이 열린 집합인 경우는 열린 덮개로 정의한다.

콤팩트 공간의 덮개[편집]

위상공간을 세부적으로 분류할 때, 위상공간이 열린 덮개에 대해 어떤 성질을 가지고 있는지를 이용하기도 한다.

  • 콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가진다.
    • 또는 이를 파라콤팩트성과 대칭을 이루도록 표현하기 위해 '모든 열린 덮개가 유한 세분 열린 덮개를 가진다.'로 쓰기도 한다. 물론 두 조건은 동치이다.[2]
  • 린델뢰프 공간은 모든 열린 덮개가 가산 부분덮개를 가진다.
  • 파라콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
  • 메조콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 콤팩트 유한(compact finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
  • 메타콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 점 유한(point finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.
  • 직교 콤팩트 공간은 모든 열린 덮개가 내부 보존(interior preserving) 세분(refinement) 열린 덮개를 가진다.

주석[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, p.164.
  2. Ibid., p.253.