체흐 코호몰로지

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대수적 위상수학에서, 체흐 코호몰로지(영어: Čech cohomology)는 위상 공간 위의 층 코호몰로지를 공간을 작은 조각으로 쪼개어 정의·계산하는 방법이다.

정의[편집]

X위상 공간이고, \mathcal F아벨 군 준층이라고 하자. \mathcal UX열린 덮개라고 하자.

단체와 사슬[편집]

n단체(單體, 영어: simplex) \sigma는 그 교집합이 0이 아닌, n+1개의 \mathcal U의 원소의 순서쌍 (U_0,\dots,U_n)이다. 단체의 지지 집합(영어: support) |\sigma|\bigcap_{k=0}^nU_n이다.

n차 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군C^n이라고 하자. C_n의 원소를 n사슬(chain)이라고 한다.

n차 단체 \sigma부분 경계(部分境界, 영어: partial boundary) \partial_k\sigma는 다음과 같다.

\partial_k\sigma=(U_0,\dots,U_{k-1},U_{k+1},\dots,U_n).

\sigma경계(境界, 영어: boundary) \partial\sigma는 다음과 같다.

\partial\sigma=\sum_{k=0}^n(-1)^k\partial_k\sigma\in C_{n-1}.

마찬가지로 n차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. n차 사슬의 경계는 n-1차 사슬이다.

공사슬[편집]

n공사슬(共-, 영어: cochain) \phin차 단체 \sigma아벨 군 원소 \phi(\sigma)\in\mathcal F(|\sigma|)와 대응시키는 함수이다. n차 공사슬의 집합을 C^n(\mathcal U,\mathcal F)라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary) \delta_n\colon C^n\to C^{n+1}는 다음과 같다. 단체 \sigma에 대하여,

(\delta_n\phi)(\sigma)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\operatorname{res}_{|\sigma|}^{|\partial_k\sigma|}\phi(\partial_k\sigma).

여기서

\operatorname{res}_{|\sigma|}^{|\partial_k\sigma|}\colon\mathcal F(|\partial_k\sigma|)\to\mathcal F(|\sigma|)

부분 집합에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해 \delta_{n+1}\circ\delta_n=0임을 확인할 수 있다. 이 공사슬에 대한 코호몰로지를

\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;\mathcal F)

라고 하자.

주어진 위상 공간의 열린 덮개들은 유항체계(directed system)를 이룬다. 체흐 코호몰로지 \operatorname{\check H}^\bullet(X;\mathcal F)는 모든 열린 덮개 \mathcal U에 대한 코호몰로지 \operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;\mathcal F)귀납적 극한이다. 즉

\operatorname{\check H}^n(X;\mathcal F)=\varinjlim\check H^n(X,\mathcal U;\mathcal F)

이다.

유도 함자 구성[편집]

체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 유도 함자를 통해 정의할 수 있다. 위상 공간 X 위의 아벨 군 준층 \mathcal F열린 덮개 \mathcal U가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.

\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;\mathcal F)=
\left\{(\phi_U)_{U\in\mathcal F}\in C^0\colon
\forall U,V\in\mathcal U\colon U\cap V\ne\varnothing\implies\operatorname{res}_{U\cap V}^U\phi_U=\operatorname{res}_{U\cap V}^V\phi_V
\right\}

여기서 C^0는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 U\in\mathcal U에 대하여 \mathcal F(U)의 원소 \phi_U\in\mathcal F_U를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 \mathcal F이라면 이는 대역 단면 \Gamma_X(\mathcal F)과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 함자

\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\colon\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab}

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.

\operatorname R^\bullet\left(\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)\right)=\operatorname{\check H}^\bullet(X,\mathcal U;-)

여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 \operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)는 단면 함자 \Gamma_X(-)와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다.

체흐-유도 함자 스펙트럼 열[편집]

체흐 코호몰로지는 특정한 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 마이어-피토리스 스펙트럼 열(영어: Mayer–Vietoris spectral sequence) 또는 체흐-유도 함자 스펙트럼 열(영어: Čech-to-derived-functor spectral sequence)의 존재에 의하여 함의된다.[1][2]:Théorème 5.4.1

구체적으로, 위상 공간 X 위의 아벨 군 값의 \mathcal F열린 덮개 \mathcal U가 주어졌다고 하자. \mathcal H^q(X;\mathcal F)가 다음과 같은 준층이라고 하자.

\mathcal H^q(X;\mathcal F)\colon U\mapsto \operatorname H^q(U;\mathcal F)

그렇다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열의 두 번째 쪽은 다음과 같다.

E_2^{p,q}=\operatorname{\check H}^p\left(X,\mathcal U;\mathcal H^q(X;\mathcal F)\right)

만약 \mathcal U가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\hookrightarrow\operatorname{PSh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\operatorname{\check H}^0(X,\mathcal U;-)}\operatorname{Ab}

여기서 \operatorname{Sh} 범주, \operatorname{PSh}준층 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다.

E_2^{p,q}\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(X;\mathcal F)

특히, 만약 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 \operatorname{\check H}^p(X,\mathcal U;\mathcal F)층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다.

  • 모든 유한 부분 집합 \mathcal A\subseteq\mathcal U에 대하여 \mathcal F|_{\bigcap\mathcal A}비순환층이다 (즉, \textstyle\operatorname H^i(\bigcap\mathcal A;\mathcal F)=0\quad\forall i>0이다).

이를 르레 정리(영어: Leray’s theorem)라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개르레 덮개(영어: Leray cover)라고 한다.[3]

예를 들어, 분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.

  • 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
  • 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다.

역사[편집]

러시아파벨 알렉산드로프[4]체코에두아르트 체흐[5] 가 도입하였다. 르레 정리는 장 르레가 1950년에 도입하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. 
  2. Godement, Roger (1973). 《Topologie algébrique et théorie des faisceaux》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1252 3판. 파리: Hermann. MR 0345092. Zbl 0275.55010. 
  3. Leray, Jean (1950). “L’anneau spectral et l’anneau filtré d’homologie d’un espace localement compact et d’une application continue”. 《Journal de Mathématiques Pures et Appliquées》 (프랑스어) 29: 1–139. 
  4. Alexandroff, Paul (1929). “Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension”. 《Annals of Mathematics》 (독일어) 30 (2): 101–187. doi:10.2307/1968272. JFM 54.0609.02. JSTOR 1968272. 
  5. Čech, Eduard (1932). “Théorie générale de l’homologie dans un espace quelconque”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 19 (1): 149–183. Zbl 0005.21802. 

바깥 고리[편집]