파라콤팩트 공간

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일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 단위 분할의 존재를 증명하기 위하여 필요한, 콤팩트 공간의 개념의 일반화이다. 수학에서 흔히 사용되는 대부분의 공간은 파라콤팩트 공간이며, 파라콤팩트성을 가정하면 단위 분할을 통해 해석학적 구조를 쉽게 정의할 수 있다.

정의[편집]

위상 공간 위의 열린 덮개 가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 열린 덮개 가 존재한다면, 국소적 유한 열린 덮개(영어: locally finite open cover)라고 한다.[1]:68

  • 임의의 에 대하여, 유한 집합이다.

즉, 국소적 유한 열린 덮개는 모든 점에서 유한 개의 덮개 원소들과 겹치는 근방을 잡을 수 있는 열린 덮개이다.

위상 공간 위의 임의의 열린 덮개에 대하여 국소적 유한 열린 덮개인 세분을 찾을 수 있다면, 파라콤팩트 공간이라고 한다.[1]:68

관련 개념[편집]

파라콤팩트 공간의 정의를 변형시켜 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.

  • 메조콤팩트 공간(영어: mesocompact space)
  • 메타콤팩트 공간(영어: metacompact space)
  • 직교 콤팩트 공간(直交-, 영어: orthocompact space)

위상 공간 열린 덮개 가 다음 조건을 만족시키면, 콤팩트 유한 열린 덮개(compact有限-, 영어: compact-finite open cover)라고 한다.[2]:23

  • 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 유한 집합이다.

즉, 점 유한 열린 덮개는 모든 콤팩트 집합이 유한 개의 덮개 원소와 만나는 열린 덮개이다.

위상 공간 열린 덮개 가 다음 조건을 만족시키면, 점 유한 열린 덮개(點有限-, 영어: point-finite open cover)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 유한 집합이다.

즉, 점 유한 열린 덮개는 모든 점이 유한 개의 덮개 원소에만 포함되는 열린 덮개이다.

위상 공간 위의 열린 덮개 가 다음 조건을 만족시키면, 내부 보존 열린 덮개(內部保存-, 영어: interior-preserving open cover)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 열린집합이다.

이들 개념들로부터, 다음과 같은 꼴의 정의를 내릴 수 있다.

위상 공간 위의 임의의 열린 덮개가 조건 P를 만족시키는 열린 세분을 갖는다면, ~ 공간이라고 한다.

이 정의들은 다음과 같다.

개념 세분의 조건
파라콤팩트 공간 국소적 유한 열린 덮개
메조콤팩트 공간 콤팩트 유한 열린 덮개[3]:200
메타콤팩트 공간 점 유한 열린 덮개
직교 콤팩트 공간 내부 보존 열린 덮개

성질[편집]

~콤팩트 공간과 콤팩트 공간곱공간에 대하여 다음이 성립한다.

  • 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.[4]:260
  • 콤팩트 공간과 메조콤팩트 공간의 곱공간은 메조콤팩트 공간이다.
  • 콤팩트 공간과 메타콤팩트 공간의 곱공간은 메타콤팩트 공간이다.

그러나 직교 콤팩트 공간의 경우 이러한 꼴의 정리가 성립하지 않는다. 이에 대한 부분적인 결과인 스콧 정리(영어: Scott’s theorem)에 따르면, 임의의 직교 콤팩트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[5]

  • 은 직교 콤팩트 공간이다.
  • 는 메타콤팩트 가산 콤팩트 공간이다.

또한, ~콤팩트 공간의 닫힌집합에 대하여 다음이 성립한다.

  • 파라콤팩트 공간의 닫힌집합은 파라콤팩트 공간이다.[4]:254
  • 메조콤팩트 공간의 닫힌집합은 메조콤팩트 공간이다.
  • 메타콤팩트 공간의 닫힌집합은 메타콤팩트 공간이다.
  • 직교 콤팩트 공간의 닫힌집합은 직교 콤팩트 공간이다.

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.[4]:253

콤팩트성과의 관계[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

콤팩트 공간 ⊊ 파라콤팩트 공간 ⊊ 메조콤팩트 공간준파라콤팩트 공간
파라콤팩트 공간 ⊊ 메조콤팩트 공간 ⊊ 메타콤팩트 공간 ⊊ 직교 콤팩트 공간

이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

하우스도르프 파라콤팩트 공간[편집]

파라콤팩트 공간에 하우스도르프 공간의 조건을 추가하면, 여러 유용한 성질들이 성립한다. (이 때문에, 일부 문헌에서는 모든 파라콤팩트 공간이 하우스도르프 공간이 되게 정의한다.) 이 가운데 가장 중요한 것인 디외도네 정리(영어: Dieudonne’s theorem)에 따르면, 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간정규 공간이다.[4]:253 모리타 정리와 디외도네 정리로부터, 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치임을 알 수 있다.

하우스도르프 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

따라서, 파라콤팩트성은 미분기하학에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.

또한, 스미르노프 거리화 정리에 따르면, 임의의 위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[4]:261

따라서, 파라콤팩트 공간의 개념은 거리화 가능성과 밀접하게 연관되어 있다. 특히, 모든 거리 공간은 파라콤팩트 공간이다.

이 밖에도, 파라콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 다음이 성립한다.

[편집]

긴 직선국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.

역사[편집]

1940년에 존 윌더 튜키(영어: John Wilder Tukey)는 "완전 정규 공간"(영어: fully normal space)이라는 개념을 정의하였다.[8][9]:165 1944년에 프랑스의 수학자 장 디외도네는 파라콤팩트 공간의 개념을 정의하였다.[9]:165[10] 1948년에 아서 해럴드 스톤(영어: Arthur Harold Stone)은 완전 정규 공간의 개념과 파라콤팩트 공간의 개념이 (하우스도르프 조건 아래) 서로 동치임을 증명하였다.[9]:165[11]

모리타 정리모리타 기이치가 1948년에 증명하였다.[6][9]:165

참고 문헌[편집]

  1. 조용승 (2010). 《위상수학》. 경문사. 
  2. Pearl, Elliott (2007). 《Open Problems in Topology II》 (영어). Elsevier. ISBN 0-444-52208-5. 
  3. Hart, K.P.; Nagata, J.; Vaughan, J.E. (2004). 《Encyclopedia of General Topology》 (영어). Elsevier. ISBN 0-444-50355-2. 
  4. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  5. B.M. Scott, "Towards a product theory for orthocompactness", Studies in Topology, N.M. Stavrakas and K.R. Allen, eds (1975), p.517–537.
  6. Morita, Kiiti (1948). “Star-finite coverings and the star-finite property”. 《Mathematica Japonicae》 (영어) 1: 60-68. Zbl 0041.09704. 
  7. Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. 
  8. Tukey, John W. (1940). “Convergence and Uniformity in Topology”. Annals of Mathematics Studies (영어) 2. Princeton University Press. MR 0002515. 
  9. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. 
  10. Dieudonné, Jean (1944). “Une généralisation des espaces compacts”. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 (프랑스어) 23: 65–76. ISSN 0021-7824. MR 0013297. 
  11. Stone, A. H. (1948년 10월). “Paracompactness and product spaces” (영어) 54 (10). doi:10.1090/S0002-9904-1948-09118-2. ISSN 0273-0979. MR 0026802. Zbl 0032.31403. 
  • Fletcher, P.; Lindgren, W. F. (1982). 《Quasi-uniform spaces》 (영어). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-1839-9. 

바깥 고리[편집]