몫공간

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일반위상수학에서, 몫공간(-空間, 영어: quotient space)은 어떤 위상 공간몫집합 위에 표준적으로 존재하는 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 동치 관계 에 대하여, 몫집합 몫위상(-位相, 영어: quotient topology)은 표준 사영 함수

에 대한 끝 위상이다. 즉, 몫위상 아래, 열린집합인 것은 가 열린집합인 것과 동치이다.[1]:139

몫위상을 갖춘 위상 공간을 몫공간(-空間, 영어: quotient space)이라고 한다.

위상 공간 사이의 함수 가 다음 두 조건을 만족시키면, 몫사상(-寫像, 영어: quotient map)이라고 한다.[1]:137

  • 전사 함수이다.
  • 의 위상은 에 대한 끝 위상이다. (즉, 열린집합인 것은 가 열린집합인 것과 동치이다.)

몫공간과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 즉, 주어진 몫공간에 대하여, 그 표준 사영 함수는 몫사상이다. 주어진 몫사상에 대하여, 그 공역은 몫공간과 위상동형이다.

성질[편집]

  • 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
    전사 연속 열린 함수몫사상전사 연속 함수
  • 위상 공간 X, Y에 대해 p:X → Y가 몫사상이라 하자. A가 p에 대한 X의 포화 부분집합일 때, p의 정의역을 제한하여 얻어지는 함수 q:A → p(A)에 대하여 다음 성질이 성립한다.[1]:140
  • 위상 공간 X, Y에 대해 p:X → Y가 몫사상이라 하자. 이때 위상 공간 Z에 대해 q:X → Z가 Y의 임의의 원소 y에 대해 ({y}) 안의 모든 원소에 대해 일정한 값을 갖는 함수라면, 를 만족하는 함수 f:Y → Z가 존재한다.[1]:142
    • 또한, 이 f가 연속일 필요충분조건은 q가 연속인 것이며, f가 몫사상일 필요충분조건은 q가 몫사상인 것이다.
      QuotientSpace-01.png

참고 문헌[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall

외부 링크[편집]