폴란드 공간

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일반위상수학에서, 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술 집합론(영어: descriptive set theory)을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 폴란드 공간이라고 한다.

마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.

폴란드 군(Poland群, 영어: Polish group)은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

성질[편집]

연산에 대한 닫힘[편집]

마주르키에비치 정리(-定理, 영어: Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 폴란드 공간 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:230[2]:17, Theorem 3.11

  • 역시 폴란드 공간이다.
  • Gδ 집합이다.

특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합Gδ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다.

폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

하우스도르프 공간 속의 부분 집합들 이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합 역시 폴란드 공간을 이룬다.

위상수학적 성질[편집]

임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

그러나 폴란드 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다.

폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다.

베르 공간 가산 무한 이산 공간 가산 무한곱공간이다. 칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 가산 무한곱공간이다. 이 경우,

  • 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 이라면, 연속 전사 함수 가 존재한다.[2]:38, Theorem 7.9
  • 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 의 어떤 닫힌집합 로 가는 연속 전단사 함수 가 존재한다.[2]:38, Theorem 7.9 (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.)
  • 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 비가산 집합이라면, 위상 동형인 부분 집합 을 갖는다.

폴란드 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:40, Exercise 7.15

집합론적 성질[편집]

임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.

다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) 인 폴란드 공간 는 존재하지 않는다.[4]:§3.1

측도론적 성질[편집]

폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간표준 보렐 공간(標準Borel空間, 영어: standard Borel space)이라고 한다.

두 표준 보렐 공간 , 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.[4]:§3.1.2

  • 는 서로 동형이다. 즉, 사이에 전단사 함수 가 존재하며, 이는 보렐 시그마 대수 사이의 동형 을 유도한다.
  • 이다. 즉, 크기가 같다.

모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.[4]:§3.1.2 (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.)

  • 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선
  • 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합
  • 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 유한 집합 ()

[편집]

이산 공간에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

(이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.)

모든 유클리드 공간 은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.[2]:14, §3.A

힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) 실수닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다.

베르 공간 가산 무한 이산 공간 가산 무한곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 위상 동형이다.

칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 가산 무한곱공간이다.

역사[편집]

바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.[1]:228

마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. 김승욱 (2004). 《위상수학: 집합론을 중심으로》 2판. 경문사. ISBN 89-7282-587-5. 
  2. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002. 
  3. Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001. 
  4. Berberian, S. K. (1988). 〈Borel spaces〉 (PDF). 《Functional analysis and its applications》 (영어). 134–197쪽. Zbl 0806.54031. 

바깥 고리[편집]