프레셰 공간

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함수해석학에서, 프레셰 공간(Fréchet空間, 영어: Fréchet space)은 일련의 반노름들로 위상을 정의할 수 있는 위상 벡터 공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다. 모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다.

정의[편집]

위상 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 벡터 공간을 프레셰 공간이라고 한다.

  • 는 다음 세 성질들을 만족시킨다.
    • 하우스도르프 공간이다.
    • 의 위상은 일련의 반노름 , 들로 유도될 수 있다. 구체적으로, 열린 집합일 필요충분조건은 이다.
    • 또한, 는 이 반노름들에 대하여 완비공간이다.
  • 는 다음 세 성질들을 만족시킨다.
    • 국소 볼록 공간(locally convex space)이다.
    • 의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다.
    • 또한, 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간이다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.

정의 사이의 관계[편집]

프레셰 공간 의 위상을 정의하는 가산 개의 반노름의 열 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위에 다음과 같은 평행 이동 불변 완비 거리 함수를 줄 수 있다.

이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다.

  1. 함수 는 구간 에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다.
  2. 따라서, 각 반노름들에 위 연산을 취하여, 을 정의한다.
  3. 이 반노름들을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 거리 함수를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수 를 삽입한다.

성질[편집]

프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리 공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.

프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등이 성립한다.

[편집]

모든 바나흐 공간은 (자명하게) 프레셰 공간이다. 즉, 이 경우 하나의 (반)노름으로 위상이 정의된다.

매끄러운 함수 공간[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

또한, 속에 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 이 존재한다고 하자.

그렇다면, 에 대하여, 번 미분 가능한 매끄러운 단면의 집합

은 실수 프레셰 공간을 이룬다.

구체적으로, 다음의 데이터를 임의로 고르자.

그렇다면, 위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다.

이를 통해 는 프레셰 공간을 이룬다. 또한, 그 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다.

특히, 만약 완비 리만 다양체일 경우, 임의의 점 에 대하여 다음과 같이 콤팩트 집합의 열을 고를 수 있다.

여기서 리만 계량 로 유도되는 거리 함수이다.

특히, 만약 가 자명한 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 은 프레셰 공간이다.

정칙 함수 공간[편집]

복소평면 위의 정칙 함수 의 집합 위에 다음과 같은 반노름을 부여하자.

그렇다면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

수열 공간[편집]

바나흐 공간이라고 하자. 모든 값의 수열의 공간

위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

위상 벡터 공간에서, 수렴은 성분별 수렴이다.

참고 문헌[편집]

  • Rudin, Walter (1991). 《Functional Analysis》 (영어). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  • Treves, François (1967). 《Topological vector spaces, distributions and kernels》 (영어). Boston: Academic Press. 

외부 링크[편집]