프레셰 공간

함수해석학에서 프레셰 공간(Fréchet空間, 영어: Fréchet space)은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다.^[1]^[2]

정의[편집]

프레셰 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

프레셰 공간은 특별한 완비 거리 공간의 구조를 가질 수 있는 국소 볼록 공간이다.
프레셰 공간은 그 위상이 특별한 반노름들이 족으로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이다.

첫 정의는 더 간단하며 직관적이지만, 실제 정리들을 증명하기 위해서는 둘째 정의가 더 유용하다.

거리 함수를 통한 정의[편집]

다음 조건을 만족시키는 국소 볼록 공간 $X$ 를 프레셰 공간이라고 한다.

$X$ 의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다. 또한, 이 거리 함수에 대하여 $X$ 는 완비 거리 공간이다.

이 정의에서, 거리 함수 자체는 프레셰 공간을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

반노름을 통한 정의[편집]

실수 벡터 공간 $X$ 위에, 반노름들의 집합

\|\cdot \|_{i}\colon X\to [0,\infty )\qquad (i\in I)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 기저 ${\mathcal {B}}$ 로서 $X$ 를 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

{\mathcal {B}}=\left\{\bigcap A\colon A\subseteq {\mathcal {S}},\;|A|<\aleph _{0}\right\}

{\mathcal {S}}=\left\{\{x\in X\colon \|x-y\|_{i}<\epsilon \}\colon \epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\;y\in X,\;i\in I\right\}

이 반노름 집합에 대하여 다음과 같은 세 조건들을 고려할 수 있다.

㈎ $I$ 로 유도되는 위상 공간은 하우스도르프 공간이다. 즉, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, 만약 $\forall i\in I\colon \|x\|_{i}=0$ 이라면, $x=0$ 이다.
㈏ $I$ 는 가산 집합이다.
㈐ $I$ 로 유도되는 위상에서, 모든 코시 열이 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X$ 에 대하여, 만약 $\forall \epsilon >0\forall i\in I\exists N\in \mathbb {N} \forall m,n\geq N\colon \|x_{m}-x_{n}\|_{i}<\epsilon$ 이라면, $\exists x\in X\forall \epsilon >0\forall i\in I\exists N\in \mathbb {N} \forall n\geq N\colon \|x_{n}-x\|_{i}<\epsilon$ 이다.

만약 위상 벡터 공간 $X$ 의 위상이 ㈎를 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, $X$ 는 하우스도르프 국소 볼록 공간이다. 만약 $X$ 의 위상이 ㈎·㈏·㈐를 모두 만족시키는 반노름 집합으로 유도될 수 있다면, $X$ 를 프레셰 공간이라고 한다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.

정의 사이의 관계[편집]

프레셰 공간 $X$ 의 위상을 정의하는 가산 개의 반노름의 열 $\|-\|_{k\in \mathbb {N} }$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 위에 다음과 같은 평행 이동 불변 완비 거리 함수를 줄 수 있다.

d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\qquad (\forall x,y\in X)

이는 원래 반노름의 열과 같은 위상을 유도하며, 정의에 따라 자명하게 평행 이동 불변이다. 위 공식은 다음과 같은 단계로 유도되었다.

함수 $a\mapsto a/(1+a)$ 는 구간 $[0,\infty )$ 를 $[0,1)$ 에 전단사로 대응시키며, 순서를 보존한다.
따라서, 각 반노름들에 위 연산을 취하여, $d_{k}(x,y)=\|x-y\|_{k}/(1+\|x-y\|_{k})\in [0,1)$ 을 정의한다.
이 반노름들을 모두 더하면, 반노름 집합과 같은 위상을 유도하는 거리 함수를 구성할 수 있다. 이 경우, 합이 항상 수렴하게 하기 위하여, 계수 $2^{-k}$ 를 삽입한다.

성질[편집]

프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리 공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.

프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등이 성립한다. 다만, 프레셰 공간에서는 (바나흐 공간과 달리) 역함수 정리가 일반적으로 성립하지 않는다.

예[편집]

모든 바나흐 공간은 (자명하게) 프레셰 공간이다. 즉, 이 경우 하나의 (반)노름으로 위상이 정의된다.

매끄러운 함수 공간[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
$M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

또한, $M$ 속에 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $(K_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 이 존재한다고 하자.

M=K_{0}\cup K_{1}\cup K_{2}\cup \dotsb

그렇다면, $l\in \{0,1,\dotsc ,\infty \}$ 에 대하여, $l$ 번 미분 가능한 매끄러운 단면의 집합

\Gamma ^{l}(E)

은 실수 프레셰 공간을 이룬다.

구체적으로, 다음의 데이터를 임의로 고르자.

$E$ 의 벡터 다발 접속 $\nabla$
$M$ 의 리만 계량 $g$
$E$ 의 양의 정부호 계량 $\eta$

그렇다면, $\Gamma ^{\infty }(E)$ 위에 다음과 같은 반노름들을 줄 수 있다.

\left(\|s\|_{n,k}\right)^{2}=\sup _{y\in K_{n}}\eta _{ab}g^{i_{1}j_{1}}g^{i_{2}j_{2}}\dotsm g^{i_{k}j_{k}}(\nabla _{i_{1}}\nabla _{i_{2}}\dotsm \nabla _{i_{n}}s^{a})(\nabla _{j_{1}}\nabla _{j_{2}}\dotsm \nabla _{j_{n}}s^{b})\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,\;k\in \mathbb {N}

이를 통해 $\Gamma ^{l}(E)$ 는 프레셰 공간을 이룬다. 또한, 그 프레셰 공간 구조는 위에서 임의로 고른 데이터에 의존하지 않는다.

특히, 만약 $(M,g)$ 이 완비 리만 다양체일 경우, 임의의 점 $x\in M$ 에 대하여 다음과 같이 콤팩트 집합의 열을 고를 수 있다.

K(x,n)=\{y\in M\colon d_{g}(x,y)\leq n\}\qquad (n\in \mathbb {N} )

여기서 $d_{g}\colon M\times M\to [0,\infty )$ 는 리만 계량 $g$ 로 유도되는 거리 함수이다.

특히, 만약 $E$ 가 자명한 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{n})$ 은 프레셰 공간이다.

정칙 함수 공간[편집]

복소평면 위의 정칙 함수 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 의 집합 위에 다음과 같은 반노름을 부여하자.

\|f\|_{n}=\sup _{|z|\leq n}|f(z)|

그렇다면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

수열 공간[편집]

$B$ 가 바나흐 공간이라고 하자. 모든 $B$ 값의 수열의 공간

B^{\mathbb {N} }

위에 다음과 같은 반노름들을 부여하면, 이는 프레셰 공간을 이룬다.

\|a\|_{n}=\|a_{n}\|_{B}

이 위상 벡터 공간에서, 수렴은 성분별 수렴이다.

역함수 정리의 실패[편집]

매끄러운 함수들의 프레셰 공간

X=\mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )

을 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 함수를 생각할 수 있다.

T\colon X\to X

T\colon f\mapsto \exp \circ f

이 경우, 임의의 $f\in X$ 에서,

\mathrm {D} T|_{f}\colon X\to X

\mathrm {D} T|_{f}\colon g\mapsto \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\exp(f+\epsilon g)-\exp(f)}{\epsilon }}=\exp(f)g

이다. 임의의 $f\in X$ 및 $x\in \mathbb {R}$ 에 대하여 $\exp(f(x))\neq 0$ 이므로, $T$ 는 모든 $f\in X$ 에서 미분 가능 함수이며, 그 미분은 가역 선형 변환이다.

$T$ 의 치역은 다음과 같이, 치역이 양의 실수로만 구성되는 매끄러운 함수들의 집합이다.

\operatorname {im} T=\{f\in X\colon \forall x\in \mathbb {R} \colon f(x)>0\}

그런데 $X$ 의 기저는

B_{f,n,N,\epsilon }=\left\{g\in X\colon \max _{k\leq N}\max _{-n\leq x\leq n}|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)|<\epsilon \right\}\qquad (\epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\;f\in X,\;n,N\in \mathbb {N} )

와 같은 꼴의 집합들로 구성되므로, $X$ 의 열린집합 가운데 $T$ 의 치역의 부분 집합인 것은 공집합 밖에 없다.

역사[편집]

모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

↑ Rudin, Walter (1991). 《Functional Analysis》 (영어). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.
↑ Treves, François (1967). 《Topological vector spaces, distributions and kernels》 (영어). Boston: Academic Press.

외부 링크[편집]

“Fréchet space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Fréchet space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Fréchet space”. 《nLab》 (영어).
“Intuition for failure of Implicit Function theorem on Frechet Manifolds” (영어). Math Overflow.

[1] Rudin, Walter (1991). 《Functional Analysis》 (영어). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.

[2] Treves, François (1967). 《Topological vector spaces, distributions and kernels》 (영어). Boston: Academic Press.

[1]

[2]

v t e 함수해석학 (주제)
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위상 벡터 공간의 부분 집합	절대 볼록 집합 흡수 집합 균형 집합 유계 집합 유계형 집합 볼록 집합 볼록 원뿔 선형 원뿔 방사형 집합 별모양 집합 대칭 집합
부분 집합 연산	대수적 내부 대수적 경계점 볼록 폐포 극점 민코프스키 덧셈 극집합