프레셰 공간

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함수해석학에서, 프레셰 공간(Fréchet空間, 영어: Fréchet space)은 일련의 반노름들로 위상을 정의할 수 있는 위상 벡터 공간이다. 바나흐 공간의 일반화이다. 모리스 르네 프레셰의 이름을 땄다.

정의[편집]

위상 벡터 공간 에 대하여, 다음 두 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 벡터 공간을 프레셰 공간이라고 한다.

  • 는 다음 세 성질들을 만족시킨다.
    • 하우스도르프 공간이다.
    • 의 위상은 일련의 반노름 , 들로 유도될 수 있다. 구체적으로, 열린 집합일 필요충분조건은 이다.
    • 또한, 는 이 반노름들에 대하여 완비공간이다.
  • 는 다음 세 성질들을 만족시킨다.
    • 국소 볼록 공간(locally convex space)이다.
    • 의 위상은 평행 이동 불변(translation-invariant) 거리 함수로부터 유도될 수 있다.
    • 또한, 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간이다.

프레셰 공간은 오직 위상 벡터 공간의 구조만 갖추고 있고, 반노름을 정의하는 데이터를 갖지 않는다. 즉, 프레셰 공간은 그 위상이 일련의 반노름들로 유도될 수 있는 위상 벡터 공간이지만, 일련의 반노름을 갖추지는 않는다.

성질[편집]

프레셰 공간은 바나흐 공간의 일반화이다. 바나흐 공간은 노름을 갖추지만, 프레셰 공간은 반면 거리 공간 또는 반노름의 구조를 줄 수 있으나 노름을 갖출 필요는 없다. 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이지만 그 역은 성립하지 않는다.

프레셰 공간의 경우 함수해석학의 주요 정리들이 성립한다. 예를 들어, 한-바나흐 정리, 열린 사상 정리, 균등 유계성 원리 등이 성립한다.

[편집]

  • 모든 바나흐 공간은 프레셰 공간이다.
  • 벡터 공간 은 다음과 같은 반노름들로 프레셰 공간을 이룬다.
  • 이와 유사하게, m번 연속 미분 가능한 실함수들의 벡터 공간 은 다음과 같이 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.
이 경우 (매끄러운 함수들의 공간)도 가능하다.

참고 문헌[편집]

  • Rudin, Walter (1991). 《Functional Analysis》 (영어). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  • Treves, François (1967). 《Topological vector spaces, distributions and kernels》 (영어). Boston: Academic Press. 

바깥 고리[편집]