균등 유계성 원리

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함수해석학에서, 균등 유계성 원리(均等有界性原理, 영어: uniform boundedness principle) 또는 바나흐-스테인하우스 정리(Banach-Steinhaus定理, 영어: Banach–Steinhaus theorem)는 바나흐 공간 위의 일련의 유계 작용소들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 동치라는 정리이다.

정의[편집]

실수 바나흐 공간 및 실수 노름 공간 사이에 일련의 유계 작용소가 존재한다고 하자. 그렇다면, 균등 유계성 원리에 따르면 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

  • (점별 유계성) 모든 에 대하여,
  • (균등 유계성)

여기서 작용소 노름이다.

균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.

증명[편집]

바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르의 범주 정리를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.

베르의 범주 정리를 사용한 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자.

모든 에 대하여

를 정의하자. 이는 닫힌집합이다.

이므로, 베르의 범주 정리에 따라서 다음 조건을 만족시키는 , 가 존재한다.

그렇다면 임의의 () 및 에 대하여

이다. 따라서

이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다.

이 밖에도, 앨런 소칼베르의 범주 정리를 사용하지 않는 다음과 같은 증명을 제시하였다.[1]

베르의 범주 정리를 사용하지 않는 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자.

그렇다면,

인 작용소 를 고를 수 있다. 이제,

인 벡터 열 를 고르자. 이는 코시 열이므로, 로 수렴한다. 그렇다면

이므로

이다. 따라서 는 점별 유계가 아니다.

역사[편집]

스테판 바나흐후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다.[2] 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Sokal, Alan D. (2011). “A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 118: 450–452. Bibcode:2010arXiv1005.1585S. arXiv:1005.1585. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450. 
  2. Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927). “Sur le principe de la condensation de singularités” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 9: 50–61. JFM 53.0243.02. 
  3. Hahn, Hans (1922). “Über Folgen linearer Operationen”. 《Monatshefte für Mathematik und Physik》 (독일어) 32: 3–88. doi:10.1007/BF01696876. 

외부 링크[편집]