균등 유계성 원리

함수해석학에서 균등 유계성 원리(均等有界性原理, 영어: uniform boundedness principle) 또는 바나흐-스테인하우스 정리(Banach-Steinhaus定理, 영어: Banach–Steinhaus theorem)는 바나흐 공간 위의 일련의 유계 작용소들에 대하여, 점별 유계성이 균등 유계성과 동치라는 정리이다.

정의

실수 바나흐 공간 $(V,\|\cdot \|_{V})$ 및 실수 노름 공간 $(W,\|\cdot \|_{W})$ 사이에 일련의 유계 작용소들 ${\mathcal {T}}\subset B(V,W)$가 존재한다고 하자. 그렇다면, 균등 유계성 원리에 따르면 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

• (점별 유계성) 모든 $v\in V$에 대하여, $\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}<\infty$
• (균등 유계성) $\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|T\|_{B(V,W)}<\infty$

여기서 $\|\cdot \|_{B(V,W)}$는 작용소 노름이다.

균등 유계성 원리로부터 다음과 같은 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.

• 바나흐 공간 $V$ 및 노름 공간 $W$ 사이의 유계 작용소들의 열 $T_{1},T_{2},\dots \colon V\to W$이 선형 변환 $T\colon V\to W$로 점별 수렴한다면, $T$는 유계 작용소이다.

증명

바나흐 공간에 대한 균등 유계성 정리는 베르 범주 정리를 사용해 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.

베르 범주 정리를 사용한 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 점별 유계성을 가정하자.

$\forall v\in V\colon \quad \sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}<\infty$

모든 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여

$V_{n}=\{v\in V|\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}\leq n\}$

를 정의하자. 이는 닫힌집합이다.

$\bigcup _{n=1}^{\infty }V_{n}=V$

이므로, 베르 범주 정리에 따라서 다음 조건을 만족시키는 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 $v_{0}\in V_{n}$, $\epsilon \in \mathbb {R} ^{+}$가 존재한다.

$\{v\in V|\|v-v_{0}\|\leq \epsilon \}\subset V_{n}$

그렇다면 임의의 $v\in V$ ($\|v\|_{V}\leq 1$) 및 $T\in {\mathcal {T}}$에 대하여

$\epsilon \|Tv\|_{W}=\left\|T(v_{0}+\epsilon v)-Tv_{0}\right\|_{W}\leq \left(\|T(v_{0}+\epsilon v)\|_{W}+\|Tv_{0}\|_{W}\right)\leq 2n$

이다. 따라서

$\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2n/\epsilon <\infty$

이며, 즉 점별 유계성은 균등 유계성을 함의한다.

이 밖에도, 앨런 소칼은 베르 범주 정리를 사용하지 않는 다음과 같은 증명을 제시하였다.

베르 범주 정리를 사용하지 않는 증명:

균등 유계성을 가정하면 점별 유계성은 자명하다. 반대로, 균등 유계성이 성립하지 않는다고 하자.

$\sup _{T\in {\mathcal {T}}}\|Tv\|_{W}=\infty$

그렇다면,

$\|T_{i}\|\geq 4^{i}$

인 작용소 열 $(T_{i})_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {T}}$를 고를 수 있다. 이제,

$v_{0}=0$

$\|v_{i}-v_{i-1}\|\leq 3^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}$

$\|T_{i}v_{i}\|\geq {\frac {2}{3}}3^{-i}\|T_{i}\|\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}$

인 벡터 열 $(v_{i})_{i=0}^{\infty }\subset V$를 고르자. 이는 코시 열이므로, $v\in V$로 수렴한다. 그렇다면

$\|v-v_{i}\|\leq {\frac {1}{2}}3^{-n}$

이므로

$\|T_{i}v\|\geq {\frac {1}{6}}3^{-i}\|T_{i}\|\geq {\frac {1}{6}}(4/3)^{i}\to \infty$

이다. 따라서 ${\mathcal {T}}$는 점별 유계가 아니다.

역사

스테판 바나흐와 후고 스테인하우스가 1927년에 증명하였다. 한스 한 또한 같은 정리를 독자적으로 발견하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform boundedness principle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Banach-Steinhaus theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Banach-Steinhaus theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Uniform boundedness” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Banach-Steinhaus theorem” (영어). 《nLab》. 
• “Banach-Steinhaus Theorem” (영어). 《ProofWiki》.