스펙트럼 정리

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선형대수학함수해석학에서, 스펙트럼 정리(spectrum定理, 영어: spectral theorem)는 선형작용소들을 그 고윳값 및 고윳값의 일반화인 스펙트럼으로 나타내는 일련의 정리들이다.

행렬에 대한 스펙트럼 정리[편집]

에르미트 행렬이라고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 고유벡터들로 구성된, 정규 직교 기저가 존재한다. 다시 말해, 는 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

여기서 유니터리 행렬이며, 은 (중복도를 고려한) 의 고윳값들이다.

마찬가지로, 실수 대칭행렬 이 주어졌을 때, 스펙트럼 정리에 따라

로 적을 수 있다. 여기서 직교행렬이며, 은 (중복도를 고려한) 의 고윳값들이다.

콤팩트 작용소에 대한 스펙트럼 정리[편집]

힐베르트 공간 위에 콤팩트 자기 수반 작용소 가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 의 고유벡터들로 구성된, 정규 직교 기저가 존재하며, 모든 고윳값들은 실수이다.

일반적 작용소에 대한 스펙트럼 정리[편집]

힐베르트 공간 위에 부분적으로 정의된 자기 수반 작용소

가 존재한다고 하자. 그렇다면, 스펙트럼 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 측도 공간 가측 함수 유니터리 작용소

가 존재한다 (, ).

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]