콤팩트 작용소

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함수해석학에서, 콤팩트 작용소(compact作用素, 영어: compact operator)는 유계 집합상대 콤팩트 부분공간바나흐 공간 사이의 선형 변환이다.

정의[편집]

라고 하자. 두 -바나흐 공간 사이의 -유계 작용소 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 -선형 변환콤팩트 작용소라고 한다.[1]:103, Definition 4.16[2]:199, §VI.5

  • 속의 단위 닫힌 공 상대 콤팩트 집합이다.
  • 속의 임의의 유계 집합 상대 콤팩트 집합이다.
  • 속의 임의의 유계 집합 완전 유계 집합이다.

힐베르트 공간의 경우[편집]

만약 -힐베르트 공간이라면, 그 사이의 -선형 변환 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

  • 콤팩트 작용소이다.
  • 치역이 유한 차원 공간인 -선형 변환들의 집합을 라고 할 때, 폐포에 속한다. (여기서 유계 작용소의 공간이며, 폐포는 작용소 노름으로 정의된 거리 위상에서 취한 것이다.)
  • 다음과 같은 꼴의 표현을 갖는다.

여기서

  • 이다.
  • 는 감소하는 양의 실수열이다. 즉, 이며, 임의의 에 대하여 이다.
  • 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다 (크로네커 델타).
  • 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 에 대하여 이다 (크로네커 델타).

이러한 표현을 특잇값 분해라고 한다.

성질[편집]

포함 관계[편집]

모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이다.

-힐베르트 공간 사이의 경우, 두 -힐베르트 공간 사이의 -선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

선형 변환유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소대각합류 작용소

또한, 임의의 에 대하여, 두 -힐베르트 공간 사이의 핵작용소는 콤팩트 작용소이다. (1차 핵작용소는 대각합류 작용소이며, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소이다.)

스펙트럼 이론[편집]

복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소의 경우, 다음과 같은 매우 깔끔한 스펙트럼 이론이 존재한다.

임의의 복소수 바나흐 공간 위의 복소수 콤팩트 작용소

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  • (프레드홀름 양도 논법 Fredholm 兩刀論法, 영어: Fredholm alternative) 스펙트럼의 모든 0이 아닌 원소는 고윳값이다. 즉, 임의의 고윳값이다.[3]:Corollary VII.7.10
  • 만약 가 무한 차원 바나흐 공간이라면, 항상 이다.
  • 스펙트럼의 임의의 0이 아닌 원소 및 충분히 큰 양의 정수 에 대하여, 이며, 또한 이 부분 벡터 공간은 유한 차원이다.
  • 고윳값들의 집합의 -집적점은 (만약 존재한다면) 밖에 없다.
  • 가산 집합이다.

위 성질 가운데 "프레드홀름 양도 논법"이라는 이름은 이를 다음과 같이 적을 수 있기 때문이다.

임의의 0이 아닌 복소수 에 대하여, 다음 둘 ("양도") 가운데 정확히 하나가 성립한다.

역사[편집]

프레드홀름 양도 논법은 에리크 이바르 프레드홀름이 원래 적분 변환 연산자에 대하여 1903년에 도입하였다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. 
  2. Reed, Michael Charles; Simon, Barry Martin (1980). 《Functional analysis》. Methods of Modern Mathematical Physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001. 
  3. Conway, John B. (1990). 《A course in functional analysis》. Graduate Texts in Mathematics 96 2판. Springer. ISBN 978-0-387-97245-9. ISSN 0072-5285. 
  4. Fredholm, E. I. (1903). “Sur une classe d’equations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 27: 365–390. doi:10.1007/bf02421317. 

바깥 고리[편집]