핵작용소
함수해석학에서, 핵작용소(核作用素, 영어: nuclear operator)는 그 성분들의 거듭제곱들의 합이 수렴하는 콤팩트 작용소이다. 특히, 일 경우(즉, 성분들의 합이 절대 수렴)를 대각합류 작용소(對角合類作用素, 영어: trace-class operator)라고 하며, 이 경우 무한 차원의 경우에도 대각합을 정의할 수 있다. 인 경우를 힐베르트-슈미트 작용소(Hilbert-Schmidt作用素, 영어: Hilbert–Schmidt operator)라고 한다.
정의
[편집]가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. 임의의 양의 실수 가 주어졌다고 하자.
가 다음과 같은 꼴의 급수로 표현될 수 있다면, 를 차 핵작용소(次核作用素, 영어: -nuclear operator)라고 한다.
여기서
- 이다.
- 는 속의 정규 직교열이다. 즉, 이어야 한다. (그러나 는 의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
- 는 속의 정규 직교열이다. 즉, 이어야 한다. (그러나 는 의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
- . (여기서 은 크기 의 이산 공간 위의 르베그 공간이다. 만약 라면 이는 이며, 라면 이는 이다.)
- 급수의 수렴은 유계 작용소 공간 의 작용소 노름에 대한 것이다.
만약 일 경우, 1차 핵작용소는 대각합류 작용소 또는 단순히 핵작용소라고 불린다.[1]:207, §VI.6 만약 일 경우, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소라고 불린다.[1]:210, §VI.6
와 사이의 차 핵작용소들의 -벡터 공간을
로 표기하자. 이는 유계 작용소 공간 의 부분 공간이므로, 따라서 -노름 공간을 이룬다.
바나흐 공간의 경우
[편집]핵작용소의 정의는 의 경우 바나흐 공간으로 일반화될 수 있다.[2][3] 그러나 일 경우 이는 그렇지 않다.[4][5]
연산
[편집]대각합
[편집]임의의 -힐베르트 공간 에 대하여, 위에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 대각합이라고 한다.
이는 사용되는 정규 직교 벡터열 에 의존하지 않음을 보일 수 있다.
이는 위의 -선형 변환을 이룬다.
샤텐 노름
[편집]마찬가지로, 위에 다음과 같은 샤텐 -노름(영어: Schatten -norm)을 정의할 수 있다.
(는 에르미트 수반이다. 거듭제곱을 취하는 것은 가 자기 수반 작용소이기 때문에 가능하며, 그 결과는 항상 에 속한다.) (물론, 일 경우 샤텐 -노름은 사실 노름이 아니다.) 이는 위와 동치로 의 (대수적 중복수를 고려한) 특잇값 들이 주어졌을 때
로 정의될 수 있다.
위와 같은 -노름을 부여하면, 는 -바나흐 공간을 이룬다.[4]:232, §1
힐베르트-슈미트 내적
[편집]특히, 인 경우, 는 힐베르트 공간을 이룬다. 구체적으로, 그 내적은 다음과 같다.
이 내적은 힐베르트-슈미트 내적(Hilbert-Schmidt內積, 영어: Hilbert–Schmidt inner product)이라고 한다.
이에 따라, 다음과 같은 -힐베르트 공간 사이의 동형(유니터리 변환)이 존재한다.
여기서 는 (대수적) -텐서곱의 완비화 (=힐베르트 텐서곱)를 뜻한다.
임의의 에 대하여, 위에도 힐베르트-슈미트 내적을 부여할 수 있으나, 이 경우 일반적으로 이 내적 공간은 힐베르트 공간을 이루지 못하며, 내적에 대한 완비화는 이다.
성질
[편집]포함 관계
[편집]정의에 따라, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.
또한, 만약 와 가 무한 차원이라면 이 포함 관계는 일치하지 않는다. (만약 와 가 유한 차원이라면 물론 항상 이다.)
특히, 두 -힐베르트 공간 사이의 선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
연산에 대한 닫힘
[편집]임의의 에 대하여, 는 -벡터 공간을 이룬다. 즉, 이들은 유한 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 또한, 임의의 에 대하여, 그 에르미트 수반 역시 다음과 같은 핵작용소이다.
만약 일 경우, 임의의 에 대하여, 는 바나흐 대수 의 양쪽 아이디얼을 이룬다.[4]:232, §1
다음과 같은 곱셈 정리(-定理, 영어: multiplication theorem)가 성립한다. 임의의
에 대하여,
를 정의하면, 임의의 세 -힐베르트 공간 에 대하여 다음이 성립한다.[4]:232, §1
위상수학적 성질
[편집]힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
고윳값과의 관계
[편집]다음이 주어졌다고 하자.
- -힐베르트 공간
- 대각합류 작용소
- 의 고윳값들이 (대수적 중복수를 포함하여) 라고 하자.
그렇다면, 리츠키 정리(Лидский定理, 영어: Lidskii’s theorem)에 따르면 다음이 성립한다.
예
[편집]힐베르트-슈미트 작용소의 대표적인 예는 힐베르트-슈미트 적분 작용소(영어: Hilbert–Schmidt integral operator)이다.
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대응하는 힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다음과 같다.
이 경우, 그 힐베르트-슈미트 노름은 의 L2 노름과 같다.
역사
[편집]힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다비트 힐베르트[6][7][8][9]와 에르하르트 슈미트[10][11][12] 가 1900년대에 연구하였다. 이후 그 특성을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 추상화하여 힐베르트-슈미트 작용소의 개념이 도입되었다.
힐베르트 공간에서, 임의의 에 대한 -핵작용소의 개념은 로베르트 샤텐(폴란드어: Robert Schatten, 1911~1977)과 존 폰 노이만이 1948년에 도입하였다.[13]:580
리츠키 정리는 우크라이나 태생의 수학자 빅토르 보리소비치 리츠키(러시아어: Ви́ктор Бори́сович Ли́дский, 우크라이나어: Ві́ктор Бори́сович Лі́дський 빅토르 보리소비치 리지키[*], 1924~2008)가 증명하였다.
각주
[편집]- ↑ 가 나 Reed, Michael C.; Simon, Barry (1980). 《Functional analysis》. Methods of modern mathematical physics (영어) 1. Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. Zbl 0459.46001.
- ↑ Grothendieck, Alexander (1955). “Produits tensoriels topologiques et espace nucléaires”. 《Memoirs of the American Mathematical Society》 (프랑스어) 16. MR 75539.
- ↑ Grothendieck, Alexander (1956). “La theorie de Fredholm”. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 84: 319–384. MR 88665.
- ↑ 가 나 다 라 Hinrichs, Aicke; Pietsch, Albrecht (2010년 2월). “p-nuclear operators in the sense of Grothendieck”. 《Mathematische Nachrichten》 (영어) 283 (2): 232–261. doi:10.1002/mana.200910128.
- ↑ Pietsch, Albrecht (1984년 3월). “Grothendieck’s concept of a p-nuclear operator”. 《Integral Equations and Operator Theory》 (영어) 7 (2): 282–284. doi:10.1007/BF01200378.
- ↑ Hilbert, David (1904년 3월 5일). “Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Erste Mitteilung)”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse》 (독일어) 1904: 49–91.
- ↑ Hilbert, David (1904년 6월 25일). “Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Zweite Mitteilung)”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse》 (독일어) 1904: 213–260.
- ↑ Hilbert, David (1905년 7월 22일). “Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Dritte Mitteilung)”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse》 (독일어) 1905: 307–338.
- ↑ Hilbert, David (1906년 3월 3일). “Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Vierte Mitteilung)”. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematische-Physikalische Klasse》 (독일어) 1906: 157–228.
- ↑ Schmidt, Erhard (1907). “Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 63: 433–476. ISSN 0025-5831. 2016년 12월 31일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 15일에 확인함.
- ↑ Schmidt, Erhard (1907). “Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Zweite Abhandlung. Auflösung der allgemeinen linearen Integralgleichung”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 64: 161–174. ISSN 0025-5831.
- ↑ Schmidt, Erhard (1908). “Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III Teil. Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Lösungen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 65: 370–399. ISSN 0025-5831.
- ↑ Schatten, R.; von Neumann, J. (1948년 7월). “The cross-space of linear transformations III”. 《Annals of of Mathematics》 (영어) 49 (3): 557–582. doi:10.2307/1969045. JSTOR 1969045.
외부 링크
[편집]- “Nuclear operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Hilbert-Schmidt operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Hilbert-Schmidt norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Hilbert-Schmidt integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Trace-class operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert-Schmidt operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert-Schmidt norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Trace-class operator”. 《nLab》 (영어).
- “tr(ab)=tr(ba)?” (영어). Math Overflow.