스펙트럼 (함수해석학)

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함수해석학에서, 유계 작용소스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

실수 또는 복소수라고 하자. -바나흐 공간 위의 유계 작용소 스펙트럼전단사 함수이 아닌 수 들의 집합이다. 의 스펙트럼을 라고 쓴다.

성질[편집]

유한 차원 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 그 행렬로서의 고윳값의 집합이다. 그러나 바나흐 공간이 무한차원이면 스펙트럼은 고윳값이 아닌 값들을 포함한다. 예를 들어, 힐베르트 공간 이라고 하자. 그렇다면 사상

유계 작용소이다. 는 고윳값을 가지지 않지만, 의 스펙트럼은 이다.

복소 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합이 될 수 없다. 반면, 유계 작용소의 고윳값의 집합은 공집합일 수 있다.

실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소는 스펙트럼조차 공집합일 수도 있다. 예를 들어, 행렬

위의 연산자로서 스펙트럼이 공집합이다.

스펙트럼의 분해[편집]

바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼 는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.

이 성분들은 각각

  • 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum)
  • 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum)
  • 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum)

이며, 다음과 같다.

일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 전단사 유계 작용소의 역은 유계 작용소이다. 이려면 가 비가역이어야 하므로, 다음 조건 가운데 하나가 성립하여야 한다.

  • 단사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 점 스펙트럼 라고 한다. 이 경우 고윳값이며, 고유벡터 가 존재한다.
  • 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
    • 단사 함수이지만 그 조밀 집합이 아니다. 이러한 들의 집합을 잔여 스펙트럼 라고 한다.
    • 단사 함수이며 그 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 연속 스펙트럼 라고 한다. 이 경우, 의 조밀집합 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

유한 차원의 경우 (행렬), 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다. 잔여 스펙트럼은 보통 예외적인 경우로 취급하며, 정규 작용소와 같은, 비교적 "좋은" 연산자의 경우 잔여 스펙트럼이 존재하지 않는다.

예를 들어, 양자역학에서 해밀토니언 는 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼을 갖는다. 점 스펙트럼은 대략 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 2개 이상의 입자의 산란 과정을 나타낸다. (물론, 일반적으로 는 비유계 작용소이므로, 엄밀히 말하면 와 같은 작용소를 고려해야 한다.)

참고 문헌[편집]

  • Rudin, W. Functional Analysis, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1991.
  • Dales et al., Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0

바깥 고리[편집]