스펙트럼 (함수해석학)

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함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

가환환 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 의 원소 분해 집합(分解集合, 영어: resolvent set)은 다음과 같은 집합이다.[1]:252, Definition 10.10

여기서 가역원군이다. 즉, 가역원이 되는 스칼라 들의 집합이다. 분해 집합의 여집합스펙트럼 라고 한다.[1]:252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)

이 경우, 원소 에서의 분해식(分解式, 영어: resolvent)이라고 한다.

실수체 또는 복소수체이며, -결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 스펙트럼 반지름(spectrum半지름, 영어: spectral radius)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.[1]:253, Definition 10.10

만약 -바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.

유계 작용소의 스펙트럼[편집]

실수체 또는 복소수체라고 하자. -바나흐 공간 위의 유계 작용소의 집합 -바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소역함수유계 작용소이다. 즉, 의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, -바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼 는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.

이 성분들은 각각

  • 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum)
  • 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum)
  • 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum)

이며, 다음과 같다.

어떤 수 에 대하여 이려면 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.

  • 단사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 점 스펙트럼 라고 한다. 이 경우 고윳값이며, 고유 벡터 가 존재한다.
  • 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
    • 단사 함수이지만 그 조밀 집합이 아니다. 이러한 들의 집합을 잔여 스펙트럼 라고 한다.
    • 단사 함수이며 그 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 연속 스펙트럼 라고 한다. 이 경우, 조밀 집합 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

성질[편집]

복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.[1]:253, Theorem 10.13(a)[2]:756, Theorem 1

증명:[2]

복소수 바나흐 대수 의 원소 가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 의 임의의 원소 를 고르자.

그렇다면, 이제 함수

를 정의하자. 그렇다면,

이다. (이는 피적분 함수가 이므로 가능하다.) 즉, 상수 함수이며, 그 값은

이다.

이제, 임의의 에 대하여

가 되므로, 사실 이어야만 한다. 즉, 임의의 에 대하여 이어야만 한다. 그런데 이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.

복소수 바나흐 대수 의 원소 의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 겔판트 공식(영어: Gelfand formula)에 의하여 주어진다.[3]:195–197

(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)

에 대하여, -바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼은 항상 속의 콤팩트 집합이다.[1]:253, Theorem 10.13(a) 특히

이다. 여기서 작용소 노름이다.

유한 차원[편집]

가 유한 차원 -바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, -선형 변환 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 -바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환 (즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

콤팩트 작용소[편집]

복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소 의 경우, 다음이 성립한다.

  • 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 이다.
  • 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 이다.

즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.

정규 작용소[편집]

복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.

복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소 의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.

보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소수치 반지름(數値半지름, 영어: numerical radius)이라고 하며, 그스펙트럼 반지름이 그 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소스펙트럼형 작용소(spectrum型作用素, 영어: spectraloid operator)라고 한다.

분해식[편집]

-바나흐 대수 의 원소 에 대하여, 만약 라면, 분해식의 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, 영어: Neumann series)가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.[1]:250, Chapter 10

증명:

위 급수는 당연히 코시 열이며, 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.

[편집]

행렬[편집]

실수 행렬

위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 위의 작용소로서 점 스펙트럼 를 갖는다.

시프트[편집]

복소수 힐베르트 공간 를 생각하자. 그렇다면 사상

유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. 고윳값을 가지지 않지만, 전사 함수가 아니므로 의 스펙트럼은 이다. 이 경우, 은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.

곱셈[편집]

임의의 에 대하여, 측도 공간 위의 르베그 공간

-바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수

유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 에 대하여 의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소

-유계 작용소이다.

이제, 집합

를 다음과 같이 정의하자.

그렇다면, 이다.

증명 ():

임의의 가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라

인 양의 실수 이 존재한다.

그렇다면, 가측 함수

를 생각하자. 그렇다면,

이다. 따라서 이다.

증명 (, ):

임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

을 정의하자. (여기서 지시 함수이다.)

그렇다면,

이므로, 특히

이다. 이에 따라, 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

증명 (, ):

임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

을 정의하자. (여기서 지시 함수이다.)

그렇다면,

이므로, 특히

이다. 이에 따라, 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.

임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이며, 만약 그렇지 않다면 이다. 특히, 는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

증명 ():

지시 함수 고유 벡터이다.

증명 ():

임의의

에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

여기서 지시 함수이다.

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라

이다. 즉, 은 항상 조밀 집합이다.

결합 대수[편집]

가환환 를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 의 스펙트럼은

이다. (여기서 가역원군이다.)

사원수 대수 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 의 스펙트럼은 다음과 같다.

(특히, 만약 이라면 이다.)

마찬가지로, 복소수체 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, 의 스펙트럼은 다음과 같다.

(특히, 만약 이라면 이다.) 물론, 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, 이다.

연속 함수 대수[편집]

콤팩트 하우스도르프 공간 위의 -바나흐 대수 의 원소 의 스펙트럼은 그 이다.

역사[편집]

유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.[4]

"스펙트럼"(독일어: Spektrum 슈펙트룸[*])과 "분해식"(독일어: Resolvente 레졸벤테[*])이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.

응용[편집]

양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간

위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜

이 주어졌으며,

이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자

조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수

에 대하여 유계 작용소

를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상

의 꼴이다. 이에 따라, 의 "스펙트럼"으로 여길 수 있다.

의 경우, 의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

참고 문헌[편집]

  1. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. 
  2. Singh, Dinesh (2006년 10월). “The spectrum in a Banach algebra”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 113 (8): 756–758. ISSN 0002-9890. JSTOR 27642038. doi:10.2307/27642038. 
  3. Lax, Peter D. (2002). 《Functional analysis》 (영어). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-55604-1. 
  4. Fredholm, E. I. (1903). “Sur une classe d’equations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 27: 365–390. doi:10.1007/bf02421317. 

외부 링크[편집]