스펙트럼 (함수해석학)

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함수해석학에서, 유계작용소스펙트럼(spectrum)은 그 고유값의 집합을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

k실수 또는 복소수라고 하자. k-바나흐 공간 V위의 유계작용소 T\colon V\to V스펙트럼\lambda I-T전단사함수이 아닌 수 \lambda\in k들의 집합이다. T의 스펙트럼을 \sigma(T)라고 쓴다.

(\lambda I-T)v=0v\in V가 존재하면, \lambda\in kT고유값(eigenvalue)이라고 한다. T의 고유값의 집합을 T점 스펙트럼(point spectrum)이라고 하며, \sigma_p(T)라고 한다. 일반적으로 \sigma_p(T)\subset\sigma(T)이다.

성질[편집]

유한 차원 공간 k^n 위의 유계작용소의 스펙트럼은 그 행렬로서의 고유값의 집합이다. 그러나 바나흐 공간이 무한차원이면 스펙트럼은 고유값이 아닌 값들을 포함한다. 예를 들어, V힐베르트 공간 \ell^2이라고 하자. 그렇다면 사상

T\colon(x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_1,x_2,\dots)

유계선형작용소이다. T는 고유값을 가지지 않지만, T의 스펙트럼은 \{0\}이다.

복소 유계작용소의 스펙트럼은 공집합이 될 수 없다. 반면, 유계작용소의 고유값의 집합은 공집합일 수 있다.

실수 바나흐 공간 위의 유계작용소는 스펙트럼조차 공집합일 수도 있다. 예를 들어, 행렬

\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

\mathbb R^2 위의 연산자로서 스펙트럼이 공집합이다.

참고 문헌[편집]