정규 작용소

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함수해석학에서, 정규 작용소(正規作用素, 영어: normal operator)는 힐베르트 공간 위에서, 스스로의 에르미트 수반과 가환하는 연속 선형작용소이다. 정규 행렬의 개념을 무한 차원으로 일반화시킨 개념이다. 정규작용소들은 잔여 스펙트럼이 존재하지 않아, 이들에 대하여 스펙트럼 정리가 적용된다.

정의[편집]

복소수 대합 대수 정규원(正規元, 영어: normal element)은 다음 조건을 만족시키는 원소 이다.

복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 속의 정규원을 정규 작용소라고 한다. 즉, 유계 작용소 을 만족시킨다면 를 정규 작용소라고 한다 (에르미트 수반).

성질[편집]

유계 작용소 에 대하여, 다음 명제들이 서로 동치이다.

  • 는 정규 작용소이다.
  • 에르미트 수반 는 정규 작용소이다.
  • 모든 에 대하여 이다.

정규 작용소 과 그 에르미트 수반 는 같은 을 갖는다.

따라서, 정규 작용소 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정규 작용소는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 즉, 오직 점 스펙트럼연속 스펙트럼만을 갖는다.

연산에 대한 닫힘[편집]

복소수 힐베르트 공간 가 주어졌다고 하자. 임의의 정규 작용소 및 복소수 에 대하여, 역시 정규 작용소이다.

두 정규 작용소 가 주어졌다고 하자. 만약 이라면, 다음이 성립한다.

  • 는 정규 작용소이다.
  • (푸글레데 정리 영어: Fuglede’s theorem) 역시 정규 작용소이다.

그러나 서로 가환하지 않는 두 정규 작용소의 합과 곱은 정규 작용소가 아닐 수 있다.

[편집]

다음과 같은 작용소들은 정규 작용소이다.

외부 링크[편집]