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작용소 이론에서, 에르미트 수반(Hermite隨伴, 영어: Hermitian adjoint)은 행렬의 켤레전치의 개념을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 일반화시킨 개념이다.
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
임의의 두
-바나흐 공간
,
사이의
-선형 변환
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 에르미트 수반은 다음과 같은
-선형 변환이다.


여기서
와
은 연속 쌍대 공간을 뜻한다.
만약
또는
가
-힐베르트 공간이라면, 자연스러운 동형 사상
,
가 존재하므로, 이 경우 에르미트 수반은
가 된다.
부분 정의 작용소의 경우[편집]
-바나흐 공간
,
가 주어졌으며,
속의 조밀 부분
-벡터 공간
위에
-선형 변환

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 위의 정의를 사용하여 선형 변환

을 얻을 수 있다. 그러나
이므로, 만약 공역이
이 되게 하려면 정의역을 적절한 부분 공간
으로 제한하여야 한다.
이 경우,
를 다음과
가 유한 유계 작용소가 되게 하는
들의 공간으로 정의하자.

그렇다면, 정의에 따라, 임의의
에 대하여,

는
위의 유계 작용소이다. 즉,
이며, 이는
-선형 변환

을 정의한다. 사실, 한-바나흐 정리에 따라, 임의의
에 대하여
는 사실
에 속하는 것을 보일 수 있다. 즉,
-선형 변환

이 존재한다. 이를
의 에르미트 수반이라고 한다.
힐베르트 공간 위의 부분 정의 작용소의 경우[편집]
-힐베르트 공간
의 조밀 부분공간
에 정의된 선형변환
의 수반(영어: adjoint)
은 다음 두 성질을 만족시키는 유일한 작용소이다. (이는 리스 표현 정리에 따라 유일하다. 만약
가 조밀하지 않다면 이는 유일하지 못할 수 있다.)[1]:59


일반적으로,
가 조밀하더라도
는 조밀하지 못할 수 있다.[1]:59
및
이
-힐베르트 공간
전체에 정의된 유계 작용소라고 하고,
라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.




(
는 작용소 노름)

유한 차원 힐베르트 공간의 경우, 에르미트 수반은 (
인 경우) 대칭 행렬이거나 (
인 경우) 에르미트 행렬이다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]