바나흐 대수

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함수해석학에서, 바나흐 대수(Banach代數, 영어: Banach algebra)는 바나흐 공간결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다.[1][2][3] 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.

정의[편집]

실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. -노름 대수(영어: normed -algebra) 는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.[1]:4, Definition I.10

  • -노름 공간이다.
  • -결합 대수이다.

또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다.

  • (노름 부등식)
  • (항등원의 노름)

(일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.[4]:246, §10.1)

만약 가 사실 바나흐 공간이라면 (즉, 완비 거리 공간이라면), -바나흐 대수(영어: Banach -algebra)라고 한다.[4]:245, Definition 10.1[1]:4, Definition I.10

유니터리 원소[편집]

-노름 대수 가 주어졌다고 하자. 이는 을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 가운데 노름이 1인 것을 유니터리 원소(unitary元素, 영어: unitary element)라고 한다.

연산[편집]

반대 대수[편집]

-노름 대수 에 대하여, 그 반대환 , 즉

에 같은 노름을 부여하면, 역시 -노름 대수를 이룬다.[1]:6, Example I.17 또한, 환 연산은 노름 공간 구조와 상관이 없으므로, 만약 가 바나흐 대수라면 역시 바나흐 대수이다.

직합[편집]

유한 또는 무한 개의 -바나흐 대수들 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직접곱의 부분 공간

위에 L1 노름

및 성분별 곱

을 부여하면, 이 역시 -바나흐 대수를 이룬다. 이 경우 의 항등원은

이다.

[편집]

-바나흐 대수 양쪽 아이디얼 가 주어졌으며, 닫힌집합이며, 라고 하자. 그렇다면, 몫환 위에는 자연스러운 노름

을 줄 수 있다. 그렇다면, 역시 -바나흐 대수를 이루며, 그 항등원은 이다.

복소화[편집]

실수 바나흐 대수 가 주어졌을 때, 그 복소화

위에 노름

과 곱셈

을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.

완비화[편집]

-노름 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 완비화 는 다음과 같이 자연스럽게 -바나흐 공간을 이룬다.

(여기서 로 수렴하는, 속의 임의의 코시 열이다.) 그 위에 곱셈

을 정의하면, -바나흐 대수를 이룬다. (여기서 는 각각 로 수렴하는, 속의 임의의 두 코시 열이다.) 이를 완비화(完備化, 영어: completion)라고 한다.[1]:5, Definition I.13

무게 부여[편집]

-바나흐 대수 의 원소 가 주어졌으며, 이라고 하자. 또한, 가역원이며, 중심에 속한다고 하자.

이 경우, 위에 새 이항 연산 를 다음과 같이 부여하자.

그렇다면 역시 -바나흐 대수를 이루며, 에 대한 항등원은 이다.

아렌스 곱[편집]

-노름 대수 의 이중 연속 쌍대 공간 위에 (이중) 쌍대 노름 및 곱셈

을 정의하자. 그렇다면, 는 항상 -바나흐 대수를 이룬다. (만약 가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수이더라도 은 항상 바나흐 대수이다.) 이 연산을 아렌스 곱(영어: Arens product)이라고 한다.

성질[편집]

환론적 성질[편집]

겔판트-마주르 정리(Гельфанд-Mazur定理, 영어: Gelfand–Mazur theorem)에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

또한, 복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 밖에 없다.

증명 (복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 밖에 없다):

단위원을 갖는 복소수 바나흐 대수의 모든 원소는 공집합이 아닌 스펙트럼을 가진다. (이는 실수 바나흐 대수에 대해서는 성립하지 않는다.) 가 복소수 바나흐 대수라고 하고, 의 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 임의의 원소 에 대하여, 의 스펙트럼의 원소라고 하자. 즉, 가역원이 아니다. 가정에 따라서 이다. 즉, 의 스펙트럼은 하나의 원소만을 가진다. 이에 따라 는 동형 사상 를 이룬다.

실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은 밖에 없다.

복소수 바나흐 대수 의 임의의 두 원소 에 대하여, 이다. (이는 스펙트럼이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)

위상수학적 성질[편집]

-바나흐 대수는 위상환을 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈은 연속 함수를 이룬다.

-바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로, -바나흐 대수 가역원군 열린집합이며, 역원 함수

연속 함수이다.

스펙트럼[편집]

임의의 -바나흐 대수 의 원소 스펙트럼은 다음과 같다.

이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.

겔판트 표현[편집]

가환 복소수 바나흐 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

  • 극대 아이디얼의 집합
  • (항등원을 보존하는) 결합 대수 준동형 의 집합 . (이는 물론 전단사 함수이어야 한다.)

구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.

극대 아이디얼 에 대하여, 인 복소수 바나흐 대수이므로, 이다. 따라서, 몫 준동형 이 존재한다.

이 때문에, 극대 아이디얼지표(指標, 영어: character)라고도 한다.

임의의 지표 는 항상 연속 함수이다. (이는 그 는 항상 닫힌집합이기 때문이다.) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 를 정의할 수 있다.

이 경우, 겔판트 표현(Гельфанд表現, 영어: Gelfand representation)은 다음과 같다.

이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.

여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 에서 취한 스펙트럼이다.

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연속 함수 공간[편집]

공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 정의된 연속 함수의 공간 은 (균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여) -바나흐 대수를 이룬다.[4]:247, Example 10.3(a)

나눗셈 대수[편집]

실수체 · 복소수체 · 사원수 대수 는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. (는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)

유클리드 공간[편집]

자연수 에 대하여, 유한 차원 -벡터 공간 위에 1-노름

및 성분별 곱

을 부여하면, 이는 가환 -바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군

이다.

유계 작용소[편집]

1차원 이상의 -노름 공간 위의 유계 작용소들의 집합 작용소 노름함수의 합성에 의하여 -노름 대수를 이룬다.[1]:5, Example I.14 만약 -바나흐 공간이라면, -바나흐 대수를 이룬다.[1]:5, Example I.14[4]:248, Example 10.3(b)

C* 대수[편집]

모든 C* 대수는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, C* 대수 가 주어졌을 때, 그 위에 노름

을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다.

위상군 위의 함수[편집]

콤팩트 하우스도르프 위상군 위의 (왼쪽 하르 측도에 대한) 르베그 공간 -바나흐 대수이다. 그 위에 합성곱

을 부여하면, 이는 -바나흐 대수를 이룬다.

역사[편집]

‘바나흐 대수’라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다.[5]

바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오(일본어: 南雲 道夫 (なぐも みちお), 1905~1995)가 1936년에 ‘선형 계량환’(독일어: linearer metrischer Ring)이라는 이름으로 도입하였다.[6][5] 이후 이즈라일 겔판트가 이를 ‘노름환’(독일어: normierter Ring)이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다.[7][5] 1945년에 워런 앰브로즈(영어: Warren Ambrose, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’(영어: Banach algebra)라는 용어를 도입하였다.[8][5]

아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스(독일어: Richard Friederich Arens, 1919~2000)가 1951년에 도입하였다.[9][10]

겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데[11][12], 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. Bonsall, Frank F.; Duncan, John (1973). 《Complete normed algebras》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 80. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-65671-2. ISSN 0071-1136. doi:10.1007/978-3-642-65669-9. 
  2. Dales, H. Garth; Aeina, Pietro; Eschmeier, Jörg; Laursen, Kjeld; Willis, George A. (2003). 《Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis》. Cambridge University Press (영어). ISBN 0-521-53584-0. 
  3. Mosak, Richard D. (1975). 《Banach algebras》. Chicago Lectures in Mathematics (영어). ISBN 0-226-54203-3. 
  4. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》 (영어). International Series in Pure and Applied Mathematics 2판. MacGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8. MR 1157815. Zbl 0867.46001. 
  5. Runde, Volker (2012년 6월). “Why Banach algebras?” (PDF). 《Canadian Mathematical Society Notes》 (영어) 44 (3): 10-11. Bibcode:2012arXiv1206.1366R. arXiv:1206.1366. 
  6. Nagumo, Mitio (1936). “Einige analytische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen”. 《Japanese Journal of Mathematics》 (독일어) 13: 61–80. 
  7. Gelfand, I. M. (1941). “Normierte Ringe”. 《Математический сборник》 (독일어) 51 (1): 3–24. JFM 67.0406.02. MR 4726. Zbl 0024.32002. 
  8. Ambrose, Warren (1945). “Structure theorems for a special class of Banach algebras”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 57: 364–386. MR 13235. doi:10.1090/S0002-9947-1945-0013235-8. 
  9. Arens, Richard Friedrich (1951). “Operations induced in function classes”. 《Monatshefte für Mathematik》 (영어) 55: 1–19. ISSN 0026-9255. 
  10. Arens, Richard Friedrich (1951). “The adjoint of a bilinear operation”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 2: 839–848. MR 45941. doi:10.1090/S0002-9939-1951-0045941-1. 
  11. Mazur, Stanisław (1938). “Sur les anneaux linéaires”. 《Comptus Rendus de l’Academie des Sciences》 (프랑스어) 207: 1025–1027. JFM 64.0086.01. 
  12. Mazet, Pierre (2007). “La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées” (PDF). 《Gazette de la Société Mathématique de France》 (프랑스어) 111: 5–11. MR 2289675. Zbl 1158.46035. 

외부 링크[편집]