극대 아이디얼

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환론에서, 극대 아이디얼(極大ideal, 영어: maximal ideal)은 전체가 아닌 아이디얼들의 극대 원소이다.

정의[편집]

극대 부분 가군[편집]

위의 왼쪽 가군 부분 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 가군극대 부분 가군(極大部分加群, 영어: maximal submodule)이라고 한다.

  • 이며, 의 임의의 부분 가군 에 대하여, 만약 이라면 이거나 이다. 즉, 부분 순서 집합 극대 원소이다. (여기서 의 진부분 가군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합이다.)
  • 몫가군 단순 가군이다. (이 정의에서, 영가군단순 가군이 아니다.)

마찬가지로, 오른쪽 가군부분 가군에 대해서도 극대 부분 가군의 개념을 정의할 수 있다. 가군 의 극대 부분 가군들의 집합을 이라고 표기하자.

주어진 가군에서, 모든 극대 부분 가군들의 교집합을 그 근기라고 한다.

극대 아이디얼[편집]

가 주어졌을 때, 1차 자유 왼쪽 가군 부분 가군왼쪽 아이디얼이며, 의 극대 부분 가군을 극대 왼쪽 아이디얼(영어: maximal left ideal)이라고 한다. 즉, 왼쪽 아이디얼 이 극대 왼쪽 아이디얼이라는 것은, 만약 의 임의의 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이라는 것이다. 마찬가지로 극대 오른쪽 아이디얼(영어: maximal right ideal)은 1차 자유 오른쪽 가군 의 극대 부분 가군이다.

극대 왼쪽 아이디얼 또는 극대 오른쪽 아이디얼이 유일하게 존재하는 국소환이라 한다.

가환환 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이러한 아이디얼을 극대 아이디얼이라고 한다.

  • 극대 왼쪽 아이디얼이다.
  • 극대 오른쪽 아이디얼이다.
  • 이다.
  • 환의 스펙트럼 자리스키 위상에서, 닫힌 집합이다.

즉, 는 닫힌 점들로 구성된 부분 공간이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환으로 얻어지는 체를 잉여류체라고 한다.

성질[편집]

가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼반소 아이디얼으뜸 아이디얼반소 아이디얼으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다. 주 아이디얼 정역에서는 영 아이디얼이 아닌 모든 주 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

존재[편집]

크룰 정리(영어: Krull’s theorem)에 따르면, 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 즉, 공집합이 아니다.

증명:

초른의 보조정리를 사용하자. 그렇다면, 공집합이 아닌 임의의 전순서 집합 에 대하여,

를 정의하였을 때, 다음 두 명제를 증명하면 족하다.

  • -부분 가군이다. 즉, 덧셈에 대하여 닫혀 있다.
    • 증명: 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이 되는 를 찾을 수 있다. 그렇다면 이므로 이다.
  • 이다.
    • 증명: 유한 생성 왼쪽 가군이므로, 이 되는 을 찾을 수 있다. 귀류법을 사용하자. 만약 이라면, 가 되는 를 찾을 수 있는데, 이 경우 이 되며, 이는 모순이다.

또한, 위의, 영가군이 아닌 사영 왼쪽 가군 은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. 보다 일반적으로, 사영 덮개를 갖는 왼쪽 가군은 항상 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 갖는다. (이는 왼쪽 가군 은 그 사영 덮개 잉여적 부분 가군 에 대한 몫가군 이며, 모든 잉여적 부분 가군은 항상 모든 극대 부분 가군에 포함되기 때문이다.)

특히, 자유 왼쪽 가군 사영 왼쪽 가군이자 유한 생성 왼쪽 가군이며, 자명환이 아니라면 영가군이 아니다. 따라서, 는 항상 하나 아싱의 극대 왼쪽 아이디얼을 갖는다.

(위 정리들은 오른쪽 가군/아이디얼에 대해서도 물론 성립한다.)

크룰 정리는 유한 생성 가군이 아닌 가군에 대하여 실패할 수 있다.

의 모든 왼쪽 가군 이 하나 이상의 극대 부분 가군을 가질 충분조건들은 다음을 들 수 있다.

[편집]

정수환 의 극대 아이디얼들은 소수 에 대한 주 아이디얼 이다.

의 극대 아이디얼은 영 아이디얼 밖에 없다.

힐베르트 영점 정리에 따르면, 대수적으로 닫힌 체 위의 유한 차원 다항식환 의 극대 아이디얼은 다음과 같은 꼴의 아이디얼이다.

극대 부분 가군을 갖지 않는 가군[편집]

정수환 위의 가군 (유리수의 덧셈 아벨 군)을 생각하자. 그렇다면, 이는 극대 부분 가군을 갖지 않는다.

역사[편집]

크룰 정리는 볼프강 크룰이 1929년에 초한 귀납법을 사용하여 증명하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Faith, Carl (1995). “Rings whose modules have maximal submodules”. 《Publicacions Matemàtiques》 (영어) 39 (1): 201–204. doi:10.5565/PUBLMAT_39195_12. ISSN 0210-2978. MR 1336364. 
  2. Krull, Wolfgang (1929). “Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 101: 729–744. doi:10.1007/BF01454872. ISSN 0025-5831. 

바깥 고리[편집]