핵작용소

함수해석학에서, 핵작용소(核作用素, 영어: nuclear operator)는 그 성분들의 $p$거듭제곱들의 합이 수렴하는 콤팩트 작용소이다. 특히, $p=1$일 경우(즉, 성분들의 합이 절대 수렴)를 대각합류 작용소(對角合類作用素, 영어: trace-class operator)라고 하며, 이 경우 무한 차원의 경우에도 대각합을 정의할 수 있다. $p=2$인 경우를 힐베르트-슈미트 작용소(Hilbert-Schmidt作用素, 영어: Hilbert–Schmidt operator)라고 한다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. 임의의 양의 실수 $p\in \mathbb {R} ^{+}$가 주어졌다고 하자.

두 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $V$, $W$ 사이의 유계 작용소

$T\colon V\to W$

가 다음과 같은 꼴의 급수로 표현될 수 있다면, $T$를 $p$차 핵작용소($p$次核作用素, 영어: $p$-nuclear operator)라고 한다.

$T=\sum _{0\leq i<N}\alpha _{i}f_{i}\langle e_{i},-\rangle$

여기서

• $0\leq N\leq \infty$이다.
• $(e_{i})_{0\leq i<N}$는 $V$ 속의 정규 직교열이다. 즉, $\langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}$이어야 한다. (그러나 $(e_{i})_{0\leq i<N}$는 $V$의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 $V$가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
• $(f_{i})_{0\leq i<N}$는 $W$ 속의 정규 직교열이다. 즉, $\langle f_{i},f_{j}\rangle =\delta _{ij}$이어야 한다. (그러나 $(f_{i})_{0\leq i<N}$는 $W$의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 $W$가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
• $(\alpha _{i})_{0\leq i<N}\in \operatorname {L} ^{p}(\{i\}_{0\leq i<N};\mathbb {K} )$. (여기서 $\operatorname {L} ^{p}(\{i\}_{0\leq i<N};\mathbb {K} )$은 크기 $N$의 이산 공간 위의 르베그 공간이다. 만약 $N=\infty$라면 이는 $\ell ^{p}(\mathbb {K} )$이며, $N<\infty$라면 이는 $\mathbb {K} ^{N}$이다.)
• 급수의 수렴은 유계 작용소 공간 $\operatorname {B} (V,W)$의 작용소 노름에 대한 것이다.

만약 $p=1$일 경우, 1차 핵작용소는 대각합류 작용소 또는 단순히 핵작용소라고 불린다.^{:207, §VI.6} 만약 $p=2$일 경우, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소라고 불린다.^{:210, §VI.6}

$V$와 $W$ 사이의 $p$차 핵작용소들의 $\mathbb {K}$-벡터 공간을

${\mathfrak {S}}_{p}(V,W)\subseteq \operatorname {B} (V,W)$

로 표기하자. 이는 유계 작용소 공간 $\operatorname {B} (V,W)$의 부분 공간이므로, 따라서 $\mathbb {K}$-노름 공간을 이룬다.

바나흐 공간의 경우

핵작용소의 정의는 $0<p\leq 1$의 경우 바나흐 공간으로 일반화될 수 있다. 그러나 $p>1$일 경우 이는 그렇지 않다.

연산

대각합

임의의 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $V$에 대하여, ${\mathfrak {S}}_{1}(V,V)$ 위에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 대각합이라고 한다.

$\operatorname {tr} \colon {\mathfrak {S}}_{p}(V,V)\to \mathbb {K}$

$\operatorname {tr} \left(\sum _{0\leq i<N}\langle e_{i},-\rangle \alpha _{ij}e_{j}\right)=\sum _{i=0}^{N}\alpha _{ij}$

이는 사용되는 정규 직교 벡터열 $e_{i}$에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

이는 ${\mathfrak {S}}_{1}(V,V)$ 위의 $\mathbb {K}$-선형 변환을 이룬다.

샤텐 노름

마찬가지로, ${\mathfrak {S}}_{p}(V,W)$ 위에 다음과 같은 샤텐 $p$-노름(영어: Schatten $p$-norm)을 정의할 수 있다.

$\|\|_{p}\colon {\mathfrak {S}}_{p}(V,W)\to \mathbb {R} _{\geq 0}$

$\|\|_{p}\colon T\mapsto \operatorname {tr} _{V}(T^{*}T)^{p/2}=\operatorname {tr} _{W}(TT^{*})^{p/2}$

($T^{*}$는 에르미트 수반이다. $1/q$거듭제곱을 취하는 것은 $T^{*}T$가 자기 수반 작용소이기 때문에 가능하며, 그 결과는 항상 ${\mathfrak {S}}_{1}$에 속한다.) (물론, $p<1$일 경우 샤텐 $p$-노름은 사실 노름이 아니다.) 이는 위와 동치로 $T$의 (대수적 중복수를 고려한) 특잇값 $(s_{i})_{i=0}^{N}$들이 주어졌을 때

$\|T\|=\sum _{0\leq i<N}|s_{i}|^{p}$

로 정의될 수 있다.

위와 같은 $p$-노름을 부여하면, ${\mathfrak {S}}_{p}(V,W)$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.^{:232, §1}

힐베르트-슈미트 내적

특히, $p=2$인 경우, ${\mathfrak {S}}_{2}(V,W)$는 힐베르트 공간을 이룬다. 구체적으로, 그 내적은 다음과 같다.

$\langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)$

이 내적은 힐베르트-슈미트 내적(Hilbert-Schmidt內積, 영어: Hilbert–Schmidt inner product)이라고 한다.

이에 따라, 다음과 같은 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 사이의 동형(유니터리 변환)이 존재한다.

${\mathfrak {S}}_{2}(V,W)\to {\bar {V}}{\hat {\otimes }}_{\mathbb {K} }W$

$\sum _{0\leq i<N}\langle e_{i},-\rangle \alpha _{ij}f_{j}\mapsto \sum _{0\leq i<N}\alpha _{ij}{\bar {e}}_{i}\otimes _{\mathbb {K} }f_{j}$

여기서 ${\hat {\otimes }}_{\mathbb {K} }$는 (대수적) $\mathbb {K}$-텐서곱의 완비화 (=힐베르트 텐서곱)를 뜻한다.

임의의 $0<p<2$에 대하여, ${\mathcal {S}}_{p}(V,V)$ 위에도 힐베르트-슈미트 내적을 부여할 수 있으나, 이 경우 일반적으로 이 내적 공간은 힐베르트 공간을 이루지 못하며, 내적에 대한 완비화는 ${\mathfrak {S}}_{2}(V,V)$이다.

성질

포함 관계

정의에 따라, 임의의 $0<p\leq p'<\infty$에 대하여 다음이 성립한다.

${\mathfrak {S}}_{p}(V,W)\subseteq {\mathfrak {S}}_{p'}(V,W)$

또한, 만약 $V$와 $W$가 무한 차원이라면 이 포함 관계는 일치하지 않는다. (만약 $V$와 $W$가 유한 차원이라면 물론 항상 ${\mathfrak {S}}_{p}(V,W)=\operatorname {B} (V,W)$이다.)

특히, 두 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 사이의 선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

연산에 대한 닫힘

임의의 $0<p<\infty$에 대하여, ${\mathfrak {S}}_{p}(V,W)$는 $\mathbb {K}$-벡터 공간을 이룬다. 즉, 이들은 유한 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 또한, 임의의 $T\in {\mathfrak {S}}_{p}(V,W)$에 대하여, 그 에르미트 수반 역시 다음과 같은 핵작용소이다.

$T^{*}\in {\mathfrak {S}}_{p}(W,V)$

만약 $V=W$일 경우, 임의의 $0<p<\infty$에 대하여, ${\mathfrak {S}}_{p}(V,V)\subseteq \operatorname {B} (V,V)$는 바나흐 대수 $\operatorname {B} (V,V)$의 양쪽 아이디얼을 이룬다.^{:232, §1}

다음과 같은 곱셈 정리(-定理, 영어: multiplication theorem)가 성립한다. 임의의

$0<p,q<\infty$

에 대하여,

$1/r=1/p+1/q$

를 정의하면, 임의의 세 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $U,V,W$에 대하여 다음이 성립한다.^{:232, §1}

${\mathfrak {S}}_{q}(V,W){\mathfrak {S}}_{p}(U,V)\subseteq {\mathfrak {S}}_{r}(U,W)$

$\|TS\|_{r}r\leq \|T\|_{q}\|S\|_{p}\qquad \forall S\in {\mathfrak {S}}_{p}(U,V),\;T\in {\mathfrak {S}}_{q}(V,W)$

위상수학적 성질

힐베르트 공간 $V$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathfrak {S}}_{2}(V,V)\subseteq \operatorname {B} (V,V)$는 (유계 작용소들의 바나흐 대수 $\operatorname {B} (V,V)$에 작용소 노름 위상을 부여하였을 때) 닫힌집합이다.
• $V$는 유한 차원 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간이다.

고윳값과의 관계

다음이 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 $V$
• 대각합류 작용소 $T\in {\mathfrak {S}}_{1}(V,V)$
• $T$의 고윳값들이 (대수적 중복수를 포함하여) $(\lambda _{i})_{0\leq i<\dim _{\mathbb {K} }{\mathcal {H}}}$라고 하자.

그렇다면, 리츠키 정리(Лидский定理, 영어: Lidskii’s theorem)에 따르면 다음이 성립한다.

$\operatorname {tr} T=\sum _{0\leq i<\dim _{\mathbb {K} }{\mathcal {H}}}\lambda _{i}$

예

힐베르트-슈미트 작용소의 대표적인 예는 힐베르트-슈미트 적분 작용소(영어: Hilbert–Schmidt integral operator)이다.

연결 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 함수

$f\in \operatorname {L} ^{2}(U\times U;\mathbb {C} )$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$에 대응하는 힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다음과 같다.

$T\colon \operatorname {L} ^{2}(U;\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(U;\mathbb {C} )$

$Tu(x)=\int _{U}f(x,y)u(y)\,\mathrm {d} y$

이 경우, 그 힐베르트-슈미트 노름은 $f$의 L² 노름과 같다.

$\|T\|_{2}=\|f\|_{\operatorname {L} ^{2}}$

역사

힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트 가 1900년대에 연구하였다. 이후 그 특성을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 추상화하여 힐베르트-슈미트 작용소의 개념이 도입되었다.

힐베르트 공간에서, 임의의 $p$에 대한 $p$-핵작용소의 개념은 로베르트 샤텐(폴란드어: Robert Schatten, 1911~1977)과 존 폰 노이만이 1948년에 도입하였다.^:580

리츠키 정리는 우크라이나 태생의 수학자 빅토르 보리소비치 리츠키(러시아어: Ви́ктор Бори́сович Ли́дский, 우크라이나어: Ві́ктор Бори́сович Лі́дський 빅토르 보리소비치 리지키^[*], 1924~2008)가 증명하였다.

외부 링크

• “Nuclear operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hilbert-Schmidt operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hilbert-Schmidt norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hilbert-Schmidt integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Trace-class operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert-Schmidt operator”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert-Schmidt norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Trace-class operator”. 《nLab》 (영어). 
• “tr(ab)=tr(ba)?” (영어). Math Overflow.