프레드홀름 작용소

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함수해석학에서, 프레드홀름 작용소(Fredholm作用素, 영어: Fredholm operator)는 두 바나흐 공간 사이의, 여핵이 유한 차원인 유계 작용소이다. 이 경우, 핵의 차원과 여핵의 차원의 차를 그 지표(指標, 영어: index 인덱스[*])라고 한다.

정의[편집]

이며, -바나흐 공간이라고 하자. 사이의 -유계 작용소 에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 -유계 작용소프레드홀름 작용소라고 한다.

  • 여핵 이 유한 차원의 벡터 공간이다.[1]:156 여기서 공역의 그 에 대한 몫공간이다.
  • 여핵 이 유한 차원이며, 또한 그 닫힌집합이다.
  • 콤팩트 작용소를 제외하고 가역이다. 즉, 유계 작용소 가 존재하여, 둘 다 콤팩트 작용소이다.

프레드홀름 작용소 지표 는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차다.

.

성질[편집]

연산에 대한 닫힘[편집]

프레드홀름 작용소들은 합성에 대하여 닫혀 있으며, 이는 지표에 대하여 가법(加法)이다. 즉, 임의의 세 -바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소

가 주어졌을 때, 역시 프레드홀름 작용소이며,

이다.

프레드홀름 작용소와 콤팩트 작용소의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 즉, 두 -바나흐 공간 사이의 프레드홀름 작용소 콤팩트 작용소 가 주어졌을 때,

이다.

위상수학적 성질[편집]

-유계 작용소의 공간 작용소 노름을 부여하자. 그렇다면, 프레드홀름 작용소들의 집합

은 그 속의 열린집합이다.

아티야-싱어 지표 정리[편집]

매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발매끄러운 단면 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 아티야-싱어 지표 정리로 계산된다.

[편집]

만약 가 유한 차원 바나흐 공간이라면, 그 사이의 모든 유계 작용소는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다.

임의의 -바나흐 공간 위의 항등 함수는 (자명하게) 지표 0의 프레드홀름 작용소이다.

밀기[편집]

분해 가능 -힐베르트 공간 정규 직교 기저

를 생각하자. 그렇다면, 밀기 연산자(영어: shift operator)

를 생각할 수 있다. 이 경우

이므로

이다.

역사[편집]

적분 방정식 이론을 개척한 스웨덴의 수학자 에리크 이바르 프레드홀름[2][3]의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  1. Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). 《An invitation to operator theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 50. American Mathematical Society. ISBN 082182146-6. 
  2. Fredholm, Ivar (1900). “Sur une nouvelle méthode pour la résolution du probléme de Dirichlet”. 《Kong. Vetenskaps-Akademiens Fbrh. Stockholm》 (프랑스어)39–46 $2쪽. 
  3. Fredholm, Ivar (1903년 12월). “Sur une classe d’équations fonctionnelles”. 《Acta Mathematica27 (1)365–390 $2쪽. doi:10.1007/BF02421317. 

바깥 고리[편집]