함수해석학 에서 프레셰 도함수 (영어 : Fréchet derivative )는 두 바나흐 공간 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있는 도함수 이다. 가토 도함수 보다 더 강한 개념이다. 즉, 어떤 바나흐 공간 위의 함수가 프레셰 미분가능이라면 그 함수는 가토 미분가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다.
두 바나흐 공간
V
,
W
{\displaystyle V,W}
f
:
V
→
W
{\displaystyle f\colon V\to W}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
유계 작용소
D
v
f
:
V
→
W
{\displaystyle D_{v}f\colon V\to W}
f
{\displaystyle f}
v
{\displaystyle v}
프레셰 미분 가능 하다고 하고,
D
v
f
{\displaystyle D_{v}f}
f
{\displaystyle f}
v
{\displaystyle v}
프레셰 도함수 라고 한다.
lim
ϵ
→
0
‖
f
(
v
+
ϵ
)
−
f
(
v
)
−
D
v
f
(
ϵ
)
‖
‖
ϵ
‖
=
0
{\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\Vert f(v+\epsilon )-f(v)-D_{v}f(\epsilon )\Vert }{\Vert \epsilon \Vert }}=0}
즉, 함수
g
:
V
∖
{
0
}
→
R
{\displaystyle g\colon V\setminus \{0\}\to \mathbb {R} }
g
:
ϵ
↦
‖
f
(
v
+
ϵ
)
−
f
(
v
)
−
D
v
f
(
ϵ
)
‖
‖
ϵ
‖
{\displaystyle g\colon \epsilon \mapsto {\frac {\Vert f(v+\epsilon )-f(v)-D_{v}f(\epsilon )\Vert }{\Vert \epsilon \Vert }}}
가
ϵ
=
0
{\displaystyle \epsilon =0}
극한 0을 가져야 한다.
만약 함수
f
:
V
→
W
{\displaystyle f\colon V\to W}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
f
{\displaystyle f}
v
{\displaystyle v}
f
:
V
→
W
{\displaystyle f\colon V\to W}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
D
v
f
{\displaystyle D_{v}f}
v
{\displaystyle v}
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
가토 도함수 는
D
v
f
(
u
)
{\displaystyle D_{v}f(u)}
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