유계형 집합

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 유계형 집합(有界型集合, 영어: bornological set)은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합이다.

정의[편집]

집합 위의 유계형(有界型, 영어: bornology)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족 이다.

  • 덮개이다. 즉, 이다.
  • 순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
    • (하집합성) 임의의 에 대하여,
    • (상향성) 임의의 에 대하여,

의 원소를 유계 집합이라고 한다.

유계형을 갖춘 집합 유계형 집합이라고 한다.

같은 집합 위의 두 유계형 , 에 대하여, 만약 이라면, 가 더 엉성하다(영어: coarser)고 하며, 반대로 이 더 섬세하다(영어: finer)고 한다.

두 유계형 집합 , 사이의 함수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 유계형 함수(영어: bounded map)라고 한다.

  • 유계 집합의 은 유계 집합이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.

성질[편집]

임의의 유계형 집합 에서, 유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다.

유계형 집합과 유계형 함수들의 범주준토포스이다.[1]:256, Example III.10(b)

[편집]

집합[편집]

집합 무한 기수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 미만인 부분 집합들의 족

은 유계형 집합을 이룬다.

특수한 경우로 다음이 있다.

  • 인 경우, -유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는 위의 가장 엉성한 유계형이다.
  • 인 경우, 모든 부분 집합-유계 집합이다. 이는 위의 가장 섬세한 유계형이다.

특히, 만약 가 유한 집합일 경우 들은 에 관계없이 모두 일치하며, 이는 위의 유일한 유계형이다.

위상 공간[편집]

T1 공간 에서, 폐포콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

거리 공간[편집]

거리 공간 에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.

여기서

지름이다.

위상 벡터 공간[편집]

위상체 위의 위상 벡터 공간 위의 폰 노이만 유계형(영어: von Neumann bornology)은 다음과 같다.

여기서

  • 영벡터근방 필터이다.
  • 가역원군이다.

두 위상 벡터 공간 , 사이의 연속 선형 변환 은 폰 노이만 유계 함수이다.

증명:

연속 함수라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 에 대하여, 열린 근방이다. 가 폰 노이만 유계 집합이므로, 가 존재한다. 따라서 이며, 따라서 역시 폰 노이만 유계 집합이다.

그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약 거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며 국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환 에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다.

순서 집합[편집]

상향 원순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 상계를 갖는 부분 집합들의 족

은 유계형을 이룬다. 마찬가지로, 하향 원순서 집합이라면, 하계를 갖는 부분 집합들의 족

은 유계형을 이룬다. 만약 상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어, 공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족

역시 유계형을 이룬다.

측도 공간[편집]

측도 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

역사[편집]

유계형 집합의 개념은 조지 매키(영어: George Mackey)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(프랑스어: bornologie 보르놀로지[*])이라는 용어를 도입하였다. 이는 프랑스어: borné 보르네[*](유계 집합) + 프랑스어: -ologie 올로지[*](위상 프랑스어: topologie 토폴로지[*]의 어미)의 합성어이다.

참고 문헌[편집]

  1. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst (1986). “Cartesian closed categories, quasitopoi and topological universes”. 《Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae》 (영어) 27 (2): 235–257. MR 857544. Zbl 0601.18003. 

외부 링크[편집]