역함수 정리

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미적분학에서, 역함수 정리(inverse function theorem, 逆函數 定理)는 주어진 함수가역 함수충분 조건역함수도함수를 구하는 공식을 제시하는 정리이다.

서술[편집]

일변수 함수[편집]

실수 구간 와 함수 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 연속 미분 가능 함수이다. 즉 도함수가 존재하며 연속이다.

역함수 정리에 따르면 가 어떤 구간 으로 제한되었을 때 연속 미분 가능 역함수 가 존재하며 그 도함수는 다음과 같다.[1]

다변수 함수[편집]

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

  • 유클리드 공간연결 열린집합과 그 속의 점
  • 함수

이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • . 즉 연속 미분 가능 함수이다. 즉 편도함수가 모두 존재하며 모두 연속이다.
  • . 즉 에서 야코비 행렬가역 행렬이다.

역함수 정리에 따르면 가 어떤 두 연결 열린집합 로 제한되었을 때 연속 미분 가능 역함수 가 존재하며 그 야코비 행렬은 다음과 같다.[2]

증명[편집]

일변수 함수[편집]

카라테오도리 보조정리를 이용하여 간단히 증명할 수 있다.[1] 먼저 f'(c)가 존재하므로 카라테오도리 보조정리에 의해 모든 x∈I에서 f(x) - f(c) = φ(x)(x-c)를 만족하는 c에서 연속이고 φ(c) = f'(c)인 함수 φ가 존재한다. 가정에서 φ(c)≠0이고 φ는 c에서 연속이므로, 모든 x∈V∩I[3]에 대해 φ≠0인 c의 적당한 근방 V:=(c-a, c+a)가 존재한다. 이제 g는 모든 y∈f(V∩I)에 대해 f(g(y)) = y를 만족하므로, 이상의 식에 g(y)를 대입하면,

  • y - f(c) = f(g(y)) - f(g(f(c))) = φ(g(y))(g(y) - g(f(c))).

그런데 모든 y∈f(V∩I)에 대해 φ(g(y))≠0이므로 양 변을 φ(g(y))로 나누면 다음과 같다.

함수 가 f(c)에서 연속이므로 카라테오도리 보조정리에 의해 g'(f(c))가 존재하고, 조건에 의해

다변수 함수[편집]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 213쪽.
  2. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 322쪽. ISBN 978-8-96-105054-8. 
  3. 이는 다시 구간이 된다.

바깥 고리[편집]