역함수 정리

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다변수 미적분학에서, 역함수 정리(逆函數定理, 영어: inverse function theorem)는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의[편집]

양의 정수 열린 근방 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.

여기서 좌변은 에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면, 에서 국소 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.

  • 는 열린집합이다.
  • 단사 함수이다.
  • , 함수이다.

이를 역함수 정리라고 한다.[1]:322-323

일변수의 경우[편집]

열린구간 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.

그렇다면, 에서 국소 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 가 존재한다.

  • 는 열린구간이다.
  • 는 단사 함수이다.
  • , 함수이다.

이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

증명[편집]

임의의 에 대하여, 다음과 같은 함수 를 정의하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

그렇다면 가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.

즉, 다음이 성립한다.

즉, 다음이 성립한다.

이제 가 단사 함수임을 보이자. 를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 는 모두 의 고정점이다. 즉, 이며 이다. 이를 위에 대입하면, 를 얻는다. 따라서 는 단사 함수이다.

이제 가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 에 대하여, 을 찾자. 그러려면 임의의 에 대하여, 에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. 를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여 가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, 를 취하면, 임의의 에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 이다. 즉, 위의 축약사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라, 는 고정점 를 갖는다. 따라서, 이며, 는 열린집합이다.

이제 임의의 에 대하여, 가 가역 행렬임을 보이자. 을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

즉, 이다. 따라서 는 가역 행렬이다.

이제 , 함수임을 보이자. 임의의 에 대하여, 또한 를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

즉, 이다. 따라서, 다음이 성립한다.

즉, 이며, 함수이다.

따름정리[편집]

열린 함수 관련[편집]

열린집합 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.

그렇다면, 열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합 은 역시 열린집합이다.

(대역) 미분동형사상 관련[편집]

열린집합 및 단사 함수 가 다음을 만족시킨다고 하자.

그렇다면, 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

  • 는 열린집합이다.
  • 은 역시 함수이다.

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미분동형사상이 아닌 국소 미분동형사상[편집]

다음과 같은 함수 를 생각하자.

그렇다면, 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.

음함수 정리에 따라, 는 (모든 점에서) 국소 미분동형사상이다. 그러나 는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

야코비 행렬식이 0인 점을 갖는 C0 미분동형사상[편집]

다음과 같은 함수 를 생각하자.

그렇다면, 는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 를 갖는다.

즉, 미분동형사상이다. 그러나, 이다. 즉, 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. 일 경우, 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 

외부 링크[편집]