바나흐 고정점 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서 바나흐 고정점 정리(-不動點定理, Banach fixed-point theorem) 또는 축약사상정리(縮約寫像定理, contraction mapping theorem)는 거리공간에 관한 정리이다. 완비거리공간 위의 축소사상고정점의 존재성과 유일성, 그리고 그 고정점을 구하는 구성적 방법을 내용으로 한다. 폴란드스테판 바나흐가 1922년에 처음으로 기술하였다.[1]

서술[편집]

정의. 를 완비거리공간이라고 하자. 사상 축소사상이라는 것은, 가 존재하여 임의의 에 대해

라는 것이다.

바나흐 고정점 정리. 를 비어있지 않은 완비거리공간, 축소사상이라고 하자. 그러면 에서 유일한 고정점 를 갖는다. 나아가 다음과 같은 방법으로 를 구할 수 있다: 임의의 를 취해 수열 을 만들면, 이다.

주1. 다음 조건들은 서로 동치이며 수렴률을 나타낸 것이다.

상술 중 가장 작은 하나를 립시츠 상수라고 한다.

주2. 전제조건이 라는 것으로 약화된 경우, 고정점의 존재를 단정지을 수 없다. 와 같은 반례가 있다. 그러나 추가적으로 콤팩트한 경우, 약화된 조건은 고정점의 존재를 함의한다.

주3. 정리의 실제 응용 시 가장 까다로운 부분은 이도록 를 적절히 정의하는 것이다.

증명[편집]

바나흐의 증명[편집]

바나흐의 증명은 4 개의 보조정리로 나뉜다.

보조정리 1. 임의의 에 대해

증명. 귀납법으로 증명된다. 먼저 에 대해,

또한 어떤 에 대해 성립한다 가정하면, 에 대해서도,

(귀납가설)

보조정리 2. 위의 코시 열이다. 따라서 어떤 로 수렴한다.

증명. 임의의 에 대해,

(삼각부등식)
(보조정리 1)
(기하급수)

임의의 을 취하면, 이므로 큰 에 대해 다음이 성립한다.

그러므로 보다 크게 잡으면 다음이 성립한다.

보조정리 3. 고정점이다.

증명. 의 양변에 극한을 취한다.

는 축소사상이므로 연속이다. 그래서 극한을 안으로 들일 수 있다.

따라서 이다.

보조정리 4. 에서의 유일한 고정점이다.

증명. 임을 가정하면,

임에 주의하면 을 얻으며, 양의 정부호성에 의해 이다.

다른 증명[편집]

아래의 더 짧고 간단한 증명이 소개된 바 있다.[2] 삼각 부등식에 의해, 임의의 에 대해

이를 정리하여 다음 부등식을 얻는다.

가 모두 고정점이면 위 부등식에 따라 , 즉 이다. 이는 의 고정점이 많아야 하나임을 보여준다. 또한, 수열 에 대해

이면 마지막 식은 0으로 수렴한다. 따라서 은 코시 열이다. 극한값 이 고정점임은 위에서 한대로 증명한다.

응용[편집]

[편집]

바나흐 고정점 정리의 몇몇의 역이 존재한다. 다음은 체스와프 베사가가 1959년에 발견한 것이다. 는 임의의 반복 이 유일한 고정점을 가지는 사상이고, 이면, 를 립시츠 상수로 하는 축소사상이도록 하는 위의 완비 거리가 존재한다.

일반화[편집]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. http://www.emis.de/journals/BJMA/tex_v1_n1_a1.pdf (영어)
  2. Palais, R. "A simple proof of the Banach contraction principle." J. fixed point theory appl. 2 (2007), 221–223

참고 문헌[편집]

  • Banach, S. "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales." Fund. Math. 3(1922), 133–181. [1]
  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
  • Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
  • Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). 《An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory》 (영어). John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2. 
  • William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.
  • Palais, R. "A simple proof of the Banach contraction principle." J. fixed point theory appl. 2 (2007), 221–223