음함수 정리

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다변수 미적분학에서 음함수 정리(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 하나 또는 여러 다변수 방정식음함수를 결정할 충분 조건을 제시하는 정리이다.

도입[편집]

을 나타내는 방정식

사이의 함수 관계를 결정할 수 있는지를 생각하자.

자연 정의역 에서, 방정식의 그래프는 자명하게 함수의 그래프가 아니다. 예를 들어 그래프와 직선 은 유일하지 않은 교점 을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 함수 형태 로 나타낼 수 없다.

부근에서, 방정식의 그래프는 역시 함수의 그래프가 아니다. 즉 원은 부근에 제한되었을 때 여전히 어떤 수직인 선과 유일하지 않은 교점을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 부근에서 함수 형태 로 나타낼 수 없다.

부근에서, 방정식의 그래프는 함수의 그래프이다. 즉 원은 부근에 제한되었을 때 수직인 선과 여러 교점을 가지지 않는다. 따라서 원의 방정식은 부근에서 함수 형태 로 나타낼 수 있다.

비슷하게, 을 제외한 원 속 모든 점 부근에서 원의 방정식은 로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 그 두 점을 제외하면 원의 방정식은 두 갈래의 함수

로 나뉜다.

음함수 정리는 어떤 방정식이 함수 형태로 나타낼 수 있을 충분 조건을 제시한다.

서술[편집]

단일 이변수 방정식에 대한 음함수 정리[편집]

실수 열린구간 곱집합 에 정의된 실숫값 함수 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 에서 연속 미분 가능 함수이다. 즉 에 대한 편도함수 가 존재하며 둘 다 에서 연속 함수이다.

음함수 정리에 따르면 어떤 두 부분 열린구간 의 곱집합 에서, 방정식

사이의 함수 관계 를 결정한다. 즉 임의의 에 대하여, 인 유일한 가 존재한다. 또한, 에서 연속 미분 가능 함수이며 그 도함수는 다음과 같다.

연립 다변수 방정식에 대한 음함수 정리[편집]

다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.

  • 유클리드 공간연결 열린집합과 그 속의 점
  • 유클리드 공간연결 열린집합과 그 속의 점
  • 함수

(따라서 이다.)

이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • . 즉 연속 미분 가능 함수이다. 즉 모든 변수에 대한 편도함수연속 함수로서 존재한다.
  • . 즉 에서 에 대한 편도함수 행렬이 가역 행렬이다.

음함수 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 함수 가 어떤 두 연결 열린집합 사이에 유일하게 존재한다.[1]

  • 임의의 에 대하여

또한 야코비 행렬은 다음과 같다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 326쪽. ISBN 978-8-96-105054-8. 

참고 문헌[편집]

  • 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.